Страница 44 номер 170, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень

а) Исследуем функцию \(f(x) = \frac{x^2 - 4x + 4}{x^2 - 4}\).

Разложим числитель и знаменатель на множители: \(x^2 - 4x + 4 = (x - 2)^2\), \(x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)\). Знаменатель равен нулю при \(x = -2\) и при \(x = 2\), в этих точках функция не определена. При остальных значениях \(x\) сократим дробь на \(x - 2\) и выделим целую часть: \[\begin{aligned} &f(x) = \frac{(x - 2)^2}{(x - 2)(x + 2)} = \frac{x - 2}{x + 2} = {} \\ &= \frac{(x + 2) - 4}{x + 2} = 1 - \frac{4}{x + 2}. \end{aligned}\] Значит, при \(x \ne -2\) и \(x \ne 2\) график функции \(f(x)\) совпадает с графиком функции \(y = 1 - \frac{4}{x + 2}\). Это гипербола, которая получается из гиперболы \(y = -\frac{4}{x}\) сдвигом на 2 единицы влево и на 1 единицу вверх; её асимптоты — прямые \(x = -2\) и \(y = 1\). Коэффициент \(-4\) отрицателен, поэтому ветви гиперболы \(y = -\frac{4}{x}\) лежат во II и IV координатных четвертях, а после сдвига левая ветвь лежит выше прямой \(y = 1\), правая — ниже. При \(x = 2\) получаем \(1 - \frac{4}{2 + 2} = 0\), но число 2 не входит в область определения функции \(f(x)\). Поэтому точка \((2; 0)\) графику не принадлежит: это выколотая точка, и лежит она на оси \(x\). Составим таблицу значений функции: \[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x & -6 & -4 & -3 & -1 & 0 & 6 \\ \hline y & 2 & 3 & 5 & -3 & -1 & 0{,}5 \\ \hline \end{array}\] Построим график функции \(f(x)\) — гиперболу с выколотой точкой \((2; 0)\).

Перечислим основные свойства функции \(f(x)\) согласно плану.

- Функция не определена при \(x = -2\) и при \(x = 2\), поэтому \(D(f) = (-\infty; -2) \cup (-2; 2) \cup (2; +\infty)\).
- Равенство \(1 - \frac{4}{x + 2} = u\) означает, что \(\frac{4}{x + 2} = 1 - u\). При \(u = 1\) это невозможно: дробь \(\frac{4}{x + 2}\) не равна нулю. При \(u \ne 1\) получаем \(x + 2 = \frac{4}{1 - u}\); это значение \(x\) не равно \(-2\) и равно 2 только при \(u = 0\). Значит, функция \(f(x)\) принимает все значения, кроме 0 и 1: \(E(f) = (-\infty; 0) \cup (0; 1) \cup (1; +\infty)\).
- Область определения симметрична относительно нуля, но \(f(1) = \frac{1 - 4 + 4}{1 - 4} = -\frac{1}{3}\) и \(f(-1) = \frac{1 + 4 + 4}{1 - 4} = -3\), то есть \(f(-1) \ne f(1)\) и \(f(-1) \ne -f(1)\). Значит, функция не является ни чётной, ни нечётной.
- Поскольку \(f(0) = \frac{4}{-4} = -1\), график функции \(f(x)\) пересекает ось \(y\) в точке \((0; -1)\).
- Дробь равна нулю, только когда её числитель \((x - 2)^2\) равен нулю, то есть при \(x = 2\), а это число не входит в \(D(f)\). Значит, нулей у функции нет и её график не пересекает ось \(x\).
- При \(x \ne -2\) и \(x \ne 2\) имеем \(f(x) = \frac{x - 2}{x + 2}\). Частное положительно, когда числитель и знаменатель одного знака: оба положительны при \(x > 2\) и оба отрицательны при \(x < -2\); при \(-2 < x < 2\) числитель отрицателен, а знаменатель положителен. Значит, \(f(x) > 0\) при \(x \in (-\infty; -2) \cup (2; +\infty)\) и \(f(x) < 0\) при \(x \in (-2; 2)\).
- Если \(x_1 < x_2\) и оба числа лежат в промежутке \((-\infty; -2)\) или оба — в промежутке \((-2; +\infty)\), то числа \(x_1 + 2 < x_2 + 2\) одного знака, поэтому \(\frac{4}{x_1 + 2} > \frac{4}{x_2 + 2}\) и \(1 - \frac{4}{x_1 + 2} < 1 - \frac{4}{x_2 + 2}\). Значит, функция \(f(x)\) возрастает на промежутках \((-\infty; -2)\), \((-2; 2)\) и \((2; +\infty)\).
- В множестве значений \(E(f)\) нет ни наибольшего, ни наименьшего числа, поэтому у функции \(f(x)\) нет ни наибольшего, ни наименьшего значения.
- Прямые \(x = -2\) и \(y = 1\) являются асимптотами графика функции \(f(x)\). Прямая \(x = 2\) асимптотой не является: около неё значения функции близки к нулю, а на графике при \(x = 2\) есть только выколотая точка.

б) Исследуем функцию \(f(x) = \frac{6}{|x| - 2}\).

Раскроем модуль и представим функцию \(f(x)\) как кусочно-заданную: \[f(x) = \begin{cases} \frac{6}{x - 2} & \text{при } x \geqslant 0, \\ -\frac{6}{x + 2} & \text{при } x < 0. \end{cases}\] При \(x \geqslant 0\) график функции \(f(x)\) совпадает с гиперболой \(y = \frac{6}{x - 2}\), которая получается из гиперболы \(y = \frac{6}{x}\) сдвигом на 2 единицы вправо; её асимптоты — прямые \(x = 2\) и \(y = 0\). Модули противоположных чисел равны, поэтому \(f(-x) = f(x)\) и график функции \(f(x)\) симметричен относительно оси \(y\): при \(x < 0\) он получается отражением правой части графика относительно оси \(y\). Заметим, что \(-\frac{6}{0 + 2} = \frac{6}{0 - 2} = -3\), поэтому правая часть графика является продолжением его левой части. Составим таблицу значений функции при \(x \geqslant 0\): \[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x & 0 & 1 & 3 & 4 & 5 & 8 \\ \hline y & -3 & -6 & 6 & 3 & 2 & 1 \\ \hline \end{array}\] Построим график функции \(f(x)\).

Перечислим основные свойства функции \(f(x)\) согласно плану.

- Знаменатель \(|x| - 2\) равен нулю при \(x = -2\) и при \(x = 2\), поэтому \(D(f) = (-\infty; -2) \cup (-2; 2) \cup (2; +\infty)\).
- Обозначим знаменатель \(t = |x| - 2\). На области определения модуль \(|x|\) принимает все неотрицательные значения, кроме 2, поэтому \(t\) принимает все значения из промежутков \([-2; 0)\) и \((0; +\infty)\). При \(-2 \leqslant t < 0\) дробь \(\frac{6}{t}\) отрицательна и по модулю не меньше 3, то есть \(\frac{6}{t} \leqslant -3\); при \(t > 0\) она положительна. Любое число \(u \leqslant -3\) дробь \(\frac{6}{t}\) принимает при \(t = \frac{6}{u}\) из промежутка \([-2; 0)\), а любое положительное число \(u\) — при \(t = \frac{6}{u} > 0\). Значит, \(E(f) = (-\infty; -3] \cup (0; +\infty)\).
- Область определения симметрична относительно нуля и \(f(-x) = \frac{6}{|-x| - 2} = \frac{6}{|x| - 2} = f(x)\). Значит, функция \(f(x)\) является чётной.
- Поскольку \(f(0) = \frac{6}{0 - 2} = -3\), график функции \(f(x)\) пересекает ось \(y\) в точке \((0; -3)\).
- Числитель дроби равен 6, поэтому \(f(x) \ne 0\) ни при каком \(x\): нулей у функции нет и её график не пересекает ось \(x\).
- Числитель положителен, поэтому знак \(f(x)\) совпадает со знаком знаменателя \(|x| - 2\). Знаменатель положителен при \(|x| > 2\), то есть при \(x < -2\) и при \(x > 2\), и отрицателен при \(|x| < 2\), то есть при \(-2 < x < 2\). Значит, \(f(x) > 0\) при \(x \in (-\infty; -2) \cup (2; +\infty)\) и \(f(x) < 0\) при \(x \in (-2; 2)\).
- При \(x \geqslant 0\) имеем \(f(x) = \frac{6}{x - 2}\). Если \(x_1 < x_2\) и оба числа лежат в промежутке \([0; 2)\) или оба — в промежутке \((2; +\infty)\), то числа \(x_1 - 2 < x_2 - 2\) одного знака, поэтому \(\frac{6}{x_1 - 2} > \frac{6}{x_2 - 2}\), то есть \(f(x_1) > f(x_2)\). Значит, на промежутках \([0; 2)\) и \((2; +\infty)\) функция \(f(x)\) убывает, а на симметричных им относительно нуля промежутках \((-2; 0]\) и \((-\infty; -2)\) — возрастает, так как её график симметричен относительно оси \(y\).
- В множестве значений \(E(f)\) нет ни наибольшего, ни наименьшего числа, поэтому у функции \(f(x)\) нет ни наибольшего, ни наименьшего значения.
- Прямые \(x = -2\), \(x = 2\) и \(y = 0\) являются асимптотами графика функции \(f(x)\).

Ответ: а) \(D(f) = (-\infty; -2) \cup (-2; 2) \cup (2; +\infty)\); \(E(f) = (-\infty; 0) \cup (0; 1) \cup (1; +\infty)\); функция ни чётная, ни нечётная; график пересекает ось \(y\) в точке \((0; -1)\); нулей нет; \(f(x) > 0\) при \(x \in (-\infty; -2) \cup (2; +\infty)\), \(f(x) < 0\) при \(x \in (-2; 2)\); функция возрастает на промежутках \((-\infty; -2)\), \((-2; 2)\) и \((2; +\infty)\); ни наибольшего, ни наименьшего значения нет; асимптоты — прямые \(x = -2\) и \(y = 1\); б) \(D(f) = (-\infty; -2) \cup (-2; 2) \cup (2; +\infty)\); \(E(f) = (-\infty; -3] \cup (0; +\infty)\); функция чётная; график пересекает ось \(y\) в точке \((0; -3)\); нулей нет; \(f(x) > 0\) при \(x \in (-\infty; -2) \cup (2; +\infty)\), \(f(x) < 0\) при \(x \in (-2; 2)\); функция возрастает на промежутках \((-\infty; -2)\) и \((-2; 0]\), убывает на промежутках \([0; 2)\) и \((2; +\infty)\); ни наибольшего, ни наименьшего значения нет; асимптоты — прямые \(x = -2\), \(x = 2\) и \(y = 0\).