Страница 44 номер 169, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Постройте график функции \(y = -(|x| - 2)^2 + 1\).
Парабола \(y = -(x - 2)^2 + 1\) получается из параболы \(y = -x^2\) сдвигом на 2 единицы вправо и на 1 единицу вверх; вершина — точка \((2; 1)\), ветви направлены вниз, так как коэффициент при \(x^2\) равен \(-1\).
\(-(x - 2)^2 + 1 = 0\), то есть \((x - 2)^2 = 1\), откуда \(x = 1\) или \(x = 3\).
При \(x = 0\) получаем \(y = -(0 - 2)^2 + 1 = -3\).
При \(x \geqslant 0\) имеем \(|x| = x\), и значения функций \(y = -(|x| - 2)^2 + 1\) и \(y = -(x - 2)^2 + 1\) совпадают. Модули противоположных чисел равны, поэтому функция \(y = -(|x| - 2)^2 + 1\) чётная и её график симметричен относительно оси \(y\).
Часть параболы \(y = -(x - 2)^2 + 1\) при \(x \geqslant 0\) оставляем и отражаем симметрично относительно оси \(y\); часть при \(x < 0\) в график не входит. Вершины графика — точки \((-2; 1)\) и \((2; 1)\); ось \(x\) он пересекает в точках \((-3; 0)\), \((-1; 0)\), \((1; 0)\), \((3; 0)\), ось \(y\) — в точке \((0; -3)\).
Постройте график функции \(y = -(|x| - 2)^2 + 1\).
Сначала построим график функции \(y = -(x - 2)^2 + 1\). Это парабола, ветви которой направлены вниз (коэффициент при \(x^2\) равен \(-1\)); она получается из параболы \(y = -x^2\) сдвигом на 2 единицы вправо и на 1 единицу вверх, её вершина — точка \((2; 1)\). Найдём точки пересечения этой параболы с осями. Из уравнения \(-(x - 2)^2 + 1 = 0\) получаем \((x - 2)^2 = 1\), откуда \(x - 2 = -1\) или \(x - 2 = 1\), то есть \(x = 1\) или \(x = 3\). При \(x = 0\) получаем \(y = -(0 - 2)^2 + 1 = -3\).
Формула \(y = -(|x| - 2)^2 + 1\) отличается от формулы \(y = -(x - 2)^2 + 1\) тем, что вместо \(x\) стоит \(|x|\). Модуль неотрицательного числа равен самому числу, поэтому при \(x \geqslant 0\) значения этих функций совпадают. Модули противоположных чисел равны, поэтому функция \(y = -(|x| - 2)^2 + 1\) чётная и её график симметричен относительно оси \(y\).
Следовательно, для построения графика функции \(y = -(|x| - 2)^2 + 1\) нужно взять часть параболы \(y = -(x - 2)^2 + 1\) при \(x \geqslant 0\) и отразить её симметрично относительно оси \(y\) в левую полуплоскость; часть параболы при \(x < 0\) в график не входит. Получится график с вершинами \((-2; 1)\) и \((2; 1)\), который пересекает ось \(x\) в точках \((-3; 0)\), \((-1; 0)\), \((1; 0)\), \((3; 0)\), а ось \(y\) — в точке \((0; -3)\), где две его части сходятся под углом.
