Страница 44 номер 168, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень

Выделим полный квадрат: \[x^2 - 4x + 9 = x^2 - 2 \cdot 2x + 2^2 - 2^2 + 9 = (x - 2)^2 + 5.\] Значит, вершина параболы \(y = x^2 - 4x + 9\) — точка \((2; 5)\), а ветви направлены вверх, так как коэффициент при \(x^2\) положителен.

Абсциссы общих точек параболы и прямой — это корни уравнения, которое получается, если приравнять правые части их формул.

При любом \(x\) выражение \((x - 2)^2\) неотрицательно, поэтому \((x - 2)^2 + 5 \geqslant 5\): все точки параболы лежат не ниже прямой \(y = 5\). Значит, прямые \(y = -5\), \(y = -4\), \(y = -2\) и \(y = 1\) с параболой общих точек не имеют.

Для прямой \(y = 5\) получаем уравнение \((x - 2)^2 + 5 = 5\), то есть \((x - 2)^2 = 0\), откуда \(x = 2\). Это одна общая точка \((2; 5)\) — вершина параболы.

Для прямой \(y = 6\) получаем уравнение \((x - 2)^2 + 5 = 6\), то есть \((x - 2)^2 = 1\), откуда \(x - 2 = -1\) или \(x - 2 = 1\): \(x = 1\) или \(x = 3\). Это две общие точки \((1; 6)\) и \((3; 6)\).

Следовательно, ровно одну общую точку с параболой имеет только прямая \(y = 5\).

Ответ: прямая \(y = 5\).