Страница 44 номер 166, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Найдите координаты точек пересечения параболы \(y = \frac{2x^2}{13} + 1\) и прямой \(y = \frac{x}{39} + 1\frac{2}{3}\).
\[\begin{aligned} \frac{2x^2}{13} + 1 &= \frac{x}{39} + \frac{5}{3}; \qquad | \cdot 39 \\ 6x^2 + 39 &= x + 65; \\ 6x^2 - x - 26 &= 0; \\ D &= (-1)^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-26) = 1 + 624 = 625; \\ x_1 &= \frac{1 - \sqrt{625}}{2 \cdot 6} = \frac{1 - 25}{12} = -2; \\ x_2 &= \frac{1 + \sqrt{625}}{2 \cdot 6} = \frac{1 + 25}{12} = \frac{13}{6}; \\ y_1 &= \frac{2 \cdot (-2)^2}{13} + 1 = \frac{8}{13} + 1 = \frac{21}{13}; \\ y_2 &= \frac{2}{13} \cdot \left(\frac{13}{6}\right)^2 + 1 = \frac{2 \cdot 169}{13 \cdot 36} + 1 = \frac{13}{18} + 1 = \frac{31}{18}. \end{aligned}\]
Проверка: найденные точки лежат и на прямой: \(-\frac{2}{39} + \frac{5}{3} = \frac{-2 + 65}{39} = \frac{63}{39} = \frac{21}{13}\);
\(\frac{13}{6} : 39 + \frac{5}{3} = \frac{1}{18} + \frac{30}{18} = \frac{31}{18}\).
Ответ: \(\left(-2; \frac{21}{13}\right)\) и \(\left(\frac{13}{6}; \frac{31}{18}\right)\).
Найдите координаты точек пересечения параболы \(y = \frac{2x^2}{13} + 1\) и прямой \(y = \frac{x}{39} + 1\frac{2}{3}\).
Для определения координат точек пересечения параболы и прямой нужно найти такие значения \(x\), при которых \(\frac{2x^2}{13} + 1 = \frac{x}{39} + 1\frac{2}{3}\). Так как \(1\frac{2}{3} = \frac{5}{3}\), умножим обе части уравнения на 39 — наименьший общий знаменатель дробей — и найдём дискриминант полученного квадратного уравнения: \[\begin{aligned} \frac{2x^2}{13} + 1 &= \frac{x}{39} + \frac{5}{3}; \qquad | \cdot 39 \\ 6x^2 + 39 &= x + 65; \\ 6x^2 - x - 26 &= 0; \\ D &= (-1)^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-26) = 1 + 624 = 625. \end{aligned}\] Дискриминант положителен, поэтому уравнение имеет два корня: \[\begin{aligned} x_1 &= \frac{1 - \sqrt{625}}{2 \cdot 6} = \frac{1 - 25}{12} = -2; \\ x_2 &= \frac{1 + \sqrt{625}}{2 \cdot 6} = \frac{1 + 25}{12} = \frac{13}{6}. \end{aligned}\] Найдём соответствующие значения \(y\) по формуле, задающей параболу: \[\begin{aligned} y_1 &= \frac{2 \cdot (-2)^2}{13} + 1 = \frac{8}{13} + 1 = \frac{21}{13}; \\ y_2 &= \frac{2}{13} \cdot \left(\frac{13}{6}\right)^2 + 1 = \frac{2 \cdot 169}{13 \cdot 36} + 1 = \frac{13}{18} + 1 = \frac{31}{18}. \end{aligned}\]
Проверка: найденные точки лежат и на прямой: \(-\frac{2}{39} + \frac{5}{3} = \frac{-2 + 65}{39} = \frac{63}{39} = \frac{21}{13}\);
\(\frac{13}{6} : 39 + \frac{5}{3} = \frac{1}{18} + \frac{30}{18} = \frac{31}{18}\).
Ответ: \(\left(-2; \frac{21}{13}\right)\) и \(\left(\frac{13}{6}; \frac{31}{18}\right)\).
