Страница 44 номер 165, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Докажите, что при любом натуральном \(n\) значение выражения \(5n^2 + 12n + 7\) является составным числом.
\[\begin{aligned} D &= 12^2 - 4 \cdot 5 \cdot 7 = 144 - 140 = 4; \\ n_1 &= \frac{-12 - \sqrt{4}}{2 \cdot 5} = \frac{-12 - 2}{10} = -\frac{7}{5}; \\ n_2 &= \frac{-12 + \sqrt{4}}{2 \cdot 5} = \frac{-12 + 2}{10} = -1; \\ 5n^2 + 12n + 7 &= 5\left(n + \frac{7}{5}\right)(n + 1) = (5n + 7)(n + 1). \end{aligned}\] Проверка: \((5n + 7)(n + 1) = 5n^2 + 5n + 7n + 7 = 5n^2 + 12n + 7\).
При натуральном \(n\) имеем \(n \geqslant 1\), поэтому \(5n + 7 \geqslant 5 \cdot 1 + 7 = 12\) и \(n + 1 \geqslant 2\) — оба множителя больше 1.
Значит, у числа \(5n^2 + 12n + 7\) есть делитель \(n + 1\), отличный от 1 и от самого числа, и оно составное при любом натуральном \(n\).
Ответ: утверждение доказано: \(5n^2 + 12n + 7 = (5n + 7)(n + 1)\), и при любом натуральном \(n\) оба множителя больше 1.
Докажите, что при любом натуральном \(n\) значение выражения \(5n^2 + 12n + 7\) является составным числом.
Рассмотрим квадратный трёхчлен \(5n^2 + 12n + 7\) с переменной \(n\) и найдём его дискриминант: \[D = 12^2 - 4 \cdot 5 \cdot 7 = 144 - 140 = 4.\] Дискриминант положителен, поэтому трёхчлен имеет два корня: \[\begin{aligned} n_1 &= \frac{-12 - \sqrt{4}}{2 \cdot 5} = \frac{-12 - 2}{10} = -\frac{7}{5}; \\ n_2 &= \frac{-12 + \sqrt{4}}{2 \cdot 5} = \frac{-12 + 2}{10} = -1. \end{aligned}\] Разложим трёхчлен на множители и внесём коэффициент 5 в скобку с дробным корнем: \[5n^2 + 12n + 7 = 5\left(n + \frac{7}{5}\right)(n + 1) = (5n + 7)(n + 1).\] Раскрыв скобки, убедимся, что разложение верно: \((5n + 7)(n + 1) = 5n^2 + 5n + 7n + 7 = 5n^2 + 12n + 7\).
Если \(n\) — натуральное число, то \(n \geqslant 1\), поэтому оба множителя — натуральные числа, большие 1: \(5n + 7 \geqslant 5 \cdot 1 + 7 = 12\) и \(n + 1 \geqslant 2\). Значит, число \(5n^2 + 12n + 7\) делится на \(n + 1\), причём этот делитель больше 1 и меньше самого числа, так как второй множитель \(5n + 7\) больше 1. Число, у которого есть делитель, отличный от 1 и от самого числа, составное. Следовательно, при любом натуральном \(n\) значение выражения \(5n^2 + 12n + 7\) является составным числом.
Ответ: утверждение доказано: \(5n^2 + 12n + 7 = (5n + 7)(n + 1)\), и при любом натуральном \(n\) оба множителя больше 1.
