Страница 44 номер 164, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Постройте график функции: а) \(y = x + [x]\); б) \(y = x + \{x\}\).
а) Если \(n\) — целое число и \(n \leqslant x < n + 1\), то \([x] = n\) и \(y = x + n\): \[y = \begin{cases} \ldots \\ x - 2 & \text{при } -2 \leqslant x < -1, \\ x - 1 & \text{при } -1 \leqslant x < 0, \\ x & \text{при } 0 \leqslant x < 1, \\ x + 1 & \text{при } 1 \leqslant x < 2, \\ x + 2 & \text{при } 2 \leqslant x < 3, \\ \ldots \end{cases}\] На каждом промежутке \([n; n + 1)\) график — отрезок прямой \(y = x + n\) с концами \((n; 2n)\) и \((n + 1; 2n + 1)\). Левый конец принадлежит графику, правый — нет: при \(x = n + 1\) целая часть равна уже \(n + 1\) и \(y = 2n + 2\).
б) \(\{x\} = x - [x]\), поэтому \(y = x + x - [x] = 2x - [x]\). Если \(n\) — целое число и \(n \leqslant x < n + 1\), то \([x] = n\) и \(y = 2x - n\): \[y = \begin{cases} \ldots \\ 2x + 2 & \text{при } -2 \leqslant x < -1, \\ 2x + 1 & \text{при } -1 \leqslant x < 0, \\ 2x & \text{при } 0 \leqslant x < 1, \\ 2x - 1 & \text{при } 1 \leqslant x < 2, \\ 2x - 2 & \text{при } 2 \leqslant x < 3, \\ \ldots \end{cases}\] На каждом промежутке \([n; n + 1)\) график — отрезок прямой \(y = 2x - n\) с концами \((n; n)\) и \((n + 1; n + 2)\). Левый конец принадлежит графику, правый — нет: при \(x = n + 1\) получаем \(y = 2(n + 1) - (n + 1) = n + 1\).
Постройте график функции: а) \(y = x + [x]\); б) \(y = x + \{x\}\).
а) Пусть \(n\) — целое число. Если \(n \leqslant x < n + 1\), то по определению целой части \([x] = n\), поэтому на промежутке \([n; n + 1)\) функция задаётся формулой \(y = x + n\): \[y = \begin{cases} \ldots \\ x - 2 & \text{при } -2 \leqslant x < -1, \\ x - 1 & \text{при } -1 \leqslant x < 0, \\ x & \text{при } 0 \leqslant x < 1, \\ x + 1 & \text{при } 1 \leqslant x < 2, \\ x + 2 & \text{при } 2 \leqslant x < 3, \\ \ldots \end{cases}\] На каждом таком промежутке график — отрезок прямой \(y = x + n\) с концами \((n; 2n)\) и \((n + 1; 2n + 1)\). Левый конец отрезка принадлежит графику, а правый — нет: при \(x = n + 1\) целая часть равна уже \(n + 1\), и \(y = 2n + 2\). Построим график.
б) По определению дробной части \(\{x\} = x - [x]\), поэтому \(y = x + x - [x] = 2x - [x]\). Если \(n\) — целое число и \(n \leqslant x < n + 1\), то \([x] = n\) и \(y = 2x - n\): \[y = \begin{cases} \ldots \\ 2x + 2 & \text{при } -2 \leqslant x < -1, \\ 2x + 1 & \text{при } -1 \leqslant x < 0, \\ 2x & \text{при } 0 \leqslant x < 1, \\ 2x - 1 & \text{при } 1 \leqslant x < 2, \\ 2x - 2 & \text{при } 2 \leqslant x < 3, \\ \ldots \end{cases}\] На каждом промежутке \([n; n + 1)\) график — отрезок прямой \(y = 2x - n\) с концами \((n; n)\) и \((n + 1; n + 2)\). Левый конец отрезка принадлежит графику, а правый — нет: при \(x = n + 1\) получаем \(y = 2(n + 1) - (n + 1) = n + 1\). Построим график.
