Страница 44 номер 163, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Постройте график функции: а) \(y = \sqrt{x + 1}\); б) \(y = -2\sqrt{x} + 3\); в) \(y = \sqrt{x + 5} - 3\).
а) Функция определена при \(x + 1 \geqslant 0\), то есть при \(x \geqslant -1\).
Значение функции \(y = \sqrt{x + 1}\) в точке \(x\) равно значению функции \(y = \sqrt{x}\) в точке \(x + 1\), расположенной на 1 единицу правее, поэтому её график — сдвиг графика функции \(y = \sqrt{x}\) на 1 единицу влево; начальная точка — \((-1; 0)\). \[\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline x & -1 & 0 & 3 & 8 \\ \hline y & 0 & 1 & 2 & 3 \\ \hline \end{array}\]
б) Функция определена при \(x \geqslant 0\).
Значения \(\sqrt{x}\) и \(-\sqrt{x}\) противоположны, поэтому график функции \(y = -\sqrt{x}\) — отражение графика функции \(y = \sqrt{x}\) относительно оси \(x\).
График функции \(y = -2\sqrt{x}\) — растяжение графика функции \(y = -\sqrt{x}\) вдоль оси ординат в 2 раза.
Значения функции \(y = -2\sqrt{x} + 3\) на 3 больше значений функции \(y = -2\sqrt{x}\), поэтому её график — сдвиг графика функции \(y = -2\sqrt{x}\) на 3 единицы вверх; начальная точка — \((0; 3)\). \[\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline x & 0 & 1 & 4 & 9 \\ \hline y & 3 & 1 & -1 & -3 \\ \hline \end{array}\]
в) Функция определена при \(x + 5 \geqslant 0\), то есть при \(x \geqslant -5\).
Значение функции \(y = \sqrt{x + 5}\) в точке \(x\) равно значению функции \(y = \sqrt{x}\) в точке \(x + 5\), расположенной на 5 единиц правее, поэтому её график — сдвиг графика функции \(y = \sqrt{x}\) на 5 единиц влево.
Значения функции \(y = \sqrt{x + 5} - 3\) на 3 меньше значений функции \(y = \sqrt{x + 5}\), поэтому её график — сдвиг графика функции \(y = \sqrt{x + 5}\) на 3 единицы вниз; начальная точка — \((-5; -3)\). \[\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline x & -5 & -4 & -1 & 4 \\ \hline y & -3 & -2 & -1 & 0 \\ \hline \end{array}\]
Постройте график функции: а) \(y = \sqrt{x + 1}\); б) \(y = -2\sqrt{x} + 3\); в) \(y = \sqrt{x + 5} - 3\).
а) Функция определена при \(x + 1 \geqslant 0\), то есть при \(x \geqslant -1\). В каждой точке \(x\) функция \(y = \sqrt{x + 1}\) принимает то же значение, что функция \(y = \sqrt{x}\) в точке \(x + 1\), расположенной на 1 единицу правее. Поэтому график функции \(y = \sqrt{x + 1}\) получается сдвигом графика функции \(y = \sqrt{x}\) на 1 единицу влево; его начальная точка — \((-1; 0)\). Составим таблицу значений функции: \[\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline x & -1 & 0 & 3 & 8 \\ \hline y & 0 & 1 & 2 & 3 \\ \hline \end{array}\] Построим график.
б) Функция определена при \(x \geqslant 0\). Её график получается из графика функции \(y = \sqrt{x}\) тремя преобразованиями.
При каждом \(x \geqslant 0\) значения \(\sqrt{x}\) и \(-\sqrt{x}\) — противоположные числа, поэтому точки \((x; \sqrt{x})\) и \((x; -\sqrt{x})\) симметричны относительно оси абсцисс. Значит, график функции \(y = -\sqrt{x}\) получается отражением графика функции \(y = \sqrt{x}\) симметрично относительно оси \(x\).
Чтобы из графика функции \(y = -\sqrt{x}\) получить график функции \(y = -2\sqrt{x}\), нужно каждое значение \(y\) умножить на 2, то есть растянуть график вдоль оси ординат в 2 раза.
Значение функции \(y = -2\sqrt{x} + 3\) при каждом \(x\) на 3 больше значения функции \(y = -2\sqrt{x}\), поэтому её график получается сдвигом графика функции \(y = -2\sqrt{x}\) на 3 единицы вверх; его начальная точка — \((0; 3)\). Составим таблицу значений функции: \[\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline x & 0 & 1 & 4 & 9 \\ \hline y & 3 & 1 & -1 & -3 \\ \hline \end{array}\] Построим график.
в) Функция определена при \(x + 5 \geqslant 0\), то есть при \(x \geqslant -5\). В каждой точке \(x\) функция \(y = \sqrt{x + 5}\) принимает то же значение, что функция \(y = \sqrt{x}\) в точке \(x + 5\), расположенной на 5 единиц правее, поэтому её график получается сдвигом графика функции \(y = \sqrt{x}\) на 5 единиц влево. Значение функции \(y = \sqrt{x + 5} - 3\) при каждом \(x\) на 3 меньше значения функции \(y = \sqrt{x + 5}\), поэтому её график получается сдвигом графика функции \(y = \sqrt{x + 5}\) на 3 единицы вниз. Значит, график функции \(y = \sqrt{x + 5} - 3\) получается сдвигом графика функции \(y = \sqrt{x}\) на 5 единиц влево и на 3 единицы вниз; его начальная точка — \((-5; -3)\). Составим таблицу значений функции: \[\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline x & -5 & -4 & -1 & 4 \\ \hline y & -3 & -2 & -1 & 0 \\ \hline \end{array}\] Построим график.
