Страница 44 номер 162, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
График обратной пропорциональности проходит через точку \(A(2; 9)\). Сколько ещё точек с целыми координатами, кроме точки \(A\), лежит на этой гиперболе?
Гипербола \(y = \frac{k}{x}\) проходит через точку \(A(2; 9)\): \(9 = \frac{k}{2}\), откуда \(k = 18\), то есть \(y = \frac{18}{x}\).
Если обе координаты точки \((x; y)\) гиперболы целые, то \(x\) — делитель числа 18: 1, 2, 3, 6, 9, 18 или \(-1\), \(-2\), \(-3\), \(-6\), \(-9\), \(-18\); обратно, при каждом из этих двенадцати значений \(x\) число \(y = \frac{18}{x}\) целое.
На гиперболе 12 точек с целыми координатами: \((1; 18)\), \((2; 9)\), \((3; 6)\), \((6; 3)\), \((9; 2)\), \((18; 1)\), \((-1; -18)\), \((-2; -9)\), \((-3; -6)\), \((-6; -3)\), \((-9; -2)\), \((-18; -1)\).
\(12 - 1 = 11\) — столько точек с целыми координатами, кроме точки \(A\).
Ответ: 11 точек.
График обратной пропорциональности проходит через точку \(A(2; 9)\). Сколько ещё точек с целыми координатами, кроме точки \(A\), лежит на этой гиперболе?
Обратная пропорциональность задаётся формулой \(y = \frac{k}{x}\), где \(k \ne 0\). Подставим координаты точки \(A(2; 9)\) в эту формулу: \(9 = \frac{k}{2}\), откуда \(k = 18\). Значит, гипербола — график функции \(y = \frac{18}{x}\).
Пусть точка \((x; y)\) с целыми координатами лежит на этой гиперболе. Тогда \(x \ne 0\) и \(y = \frac{18}{x}\) — целое число, то есть число 18 делится на целое число \(x\) нацело. Значит, \(x\) — один из делителей числа 18: одно из чисел 1, 2, 3, 6, 9, 18 или противоположных им чисел \(-1\), \(-2\), \(-3\), \(-6\), \(-9\), \(-18\). Обратно, при каждом из этих двенадцати значений \(x\) число \(y = \frac{18}{x}\) целое. Следовательно, на гиперболе лежат ровно 12 точек с целыми координатами: \((1; 18)\), \((2; 9)\), \((3; 6)\), \((6; 3)\), \((9; 2)\), \((18; 1)\) и симметричные им относительно начала координат точки \((-1; -18)\), \((-2; -9)\), \((-3; -6)\), \((-6; -3)\), \((-9; -2)\), \((-18; -1)\).
Одна из этих точек — точка \(A(2; 9)\), поэтому, кроме неё, на гиперболе лежат \(12 - 1 = 11\) точек с целыми координатами.
Ответ: 11 точек.
