Страница 44 номер 160, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Постройте график функции: а) \(y = x^2 + x - 2\); б) \(y = 2x^2 + 8x + 10\); в) \(y = |x^2 + 7x + 6|\); г) \(y = \left|\frac{1}{2}x^2 - 3x + 4\right|\).
а) Коэффициент при \(x^2\) равен \(1 > 0\) — ветви параболы направлены вверх.
Координаты вершины: \[\begin{aligned} x_0 &= -\frac{1}{2 \cdot 1} = -0{,}5; \\ y_0 &= (-0{,}5)^2 + (-0{,}5) - 2 = 0{,}25 - 0{,}5 - 2 = -2{,}25. \end{aligned}\] Нули функции — корни уравнения \(x^2 + x - 2 = 0\): \(D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 9\), \(x = \frac{-1 - 3}{2} = -2\), \(x = \frac{-1 + 3}{2} = 1\).
Парабола пересекает ось \(x\) в точках \((-2; 0)\) и \((1; 0)\), а ось \(y\) — в точке \((0; -2)\); точка \((-1; -2)\) симметрична ей относительно оси параболы \(x = -0{,}5\).
\(\frac{-2 + 1}{2} = -0{,}5\) — абсцисса вершины лежит посередине между нулями.
б) \[\begin{aligned} &2x^2 + 8x + 10 = 2(x^2 + 4x) + 10 = {} \\ &= 2(x^2 + 4x + 4 - 4) + 10 = {} \\ &= 2(x^2 + 4x + 4) - 8 + 10 = 2(x + 2)^2 + 2. \end{aligned}\] График функции \(y = 2(x + 2)^2 + 2\) получается из параболы \(y = x^2\) так: сдвигаем её на 2 единицы влево и получаем параболу \(y = (x + 2)^2\) с вершиной \((-2; 0)\); растягиваем её вдоль оси ординат в 2 раза и получаем параболу \(y = 2(x + 2)^2\); сдвигаем эту параболу на 2 единицы вверх. Вершина — точка \((-2; 2)\), ветви направлены вверх.
\(2(x + 2)^2 \geqslant 0\), поэтому \(y \geqslant 2\) при любом \(x\), и парабола не пересекает ось \(x\).
Ось \(y\) парабола пересекает в точке \((0; 10)\), а точка \((-4; 10)\) симметрична ей относительно прямой \(x = -2\).
При \(x = -3\) и при \(x = -1\) имеем \((x + 2)^2 = 1\) и \(y = 2 \cdot 1 + 2 = 4\).
в) Парабола \(y = x^2 + 7x + 6\): коэффициент при \(x^2\) равен \(1 > 0\) — ветви направлены вверх.
Координаты вершины: \[\begin{aligned} x_0 &= -\frac{7}{2 \cdot 1} = -3{,}5; \\ y_0 &= (-3{,}5)^2 + 7 \cdot (-3{,}5) + 6 = 12{,}25 - 24{,}5 + 6 = -6{,}25. \end{aligned}\] Нули функции — корни уравнения \(x^2 + 7x + 6 = 0\): \(D = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25\), \(x = \frac{-7 - 5}{2} = -6\), \(x = \frac{-7 + 5}{2} = -1\).
Ось \(y\) парабола пересекает в точке \((0; 6)\), а точка \((-7; 6)\) симметрична ей относительно оси параболы \(x = -3{,}5\).
При \(x^2 + 7x + 6 < 0\) имеем \(|x^2 + 7x + 6| = -(x^2 + 7x + 6)\), поэтому часть параболы, расположенную в нижней полуплоскости (при \(-6 < x < -1\)), отражаем симметрично относительно оси абсцисс, а остальная часть параболы остаётся на месте. Вершина \((-3{,}5; -6{,}25)\) переходит в точку \((-3{,}5; 6{,}25)\).
г) Парабола \(y = \frac{1}{2}x^2 - 3x + 4\): коэффициент при \(x^2\) равен \(\frac{1}{2} > 0\) — ветви направлены вверх.
Координаты вершины: \[\begin{aligned} x_0 &= -\frac{-3}{2 \cdot \frac{1}{2}} = 3; \\ y_0 &= \frac{1}{2} \cdot 3^2 - 3 \cdot 3 + 4 = 4{,}5 - 9 + 4 = -0{,}5. \end{aligned}\] Нули функции: \[\begin{aligned} \frac{1}{2}x^2 - 3x + 4 &= 0; \qquad | \cdot 2 \\ x^2 - 6x + 8 &= 0; \\ D &= (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 4. \end{aligned}\] Корни уравнения: \(\frac{6 - 2}{2} = 2\) и \(\frac{6 + 2}{2} = 4\).
Ось \(y\) парабола пересекает в точке \((0; 4)\), а точка \((6; 4)\) симметрична ей относительно оси параболы \(x = 3\).
Там, где \(\frac{1}{2}x^2 - 3x + 4 < 0\), модуль заменяет выражение противоположным, поэтому часть параболы, расположенную в нижней полуплоскости (при \(2 < x < 4\)), отражаем симметрично относительно оси абсцисс, а остальная часть параболы остаётся на месте. Вершина \((3; -0{,}5)\) переходит в точку \((3; 0{,}5)\).
Постройте график функции: а) \(y = x^2 + x - 2\); б) \(y = 2x^2 + 8x + 10\); в) \(y = |x^2 + 7x + 6|\); г) \(y = \left|\frac{1}{2}x^2 - 3x + 4\right|\).
а) Графиком функции \(y = x^2 + x - 2\) является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при \(x^2\) равен \(1 > 0\). Построим её по ключевым точкам. Координаты вершины: \[\begin{aligned} x_0 &= -\frac{1}{2 \cdot 1} = -0{,}5; \\ y_0 &= (-0{,}5)^2 + (-0{,}5) - 2 = 0{,}25 - 0{,}5 - 2 = -2{,}25. \end{aligned}\] Нули функции — корни уравнения \(x^2 + x - 2 = 0\): \(D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 9\), \(x = \frac{-1 - 3}{2} = -2\), \(x = \frac{-1 + 3}{2} = 1\). Парабола пересекает ось \(x\) в точках \((-2; 0)\) и \((1; 0)\), а ось \(y\) — в точке \((0; -2)\); точка \((-1; -2)\) симметрична ей относительно оси параболы \(x = -0{,}5\). Абсцисса вершины лежит посередине между нулями: \(\frac{-2 + 1}{2} = -0{,}5\). Отметим найденные точки и проведём через них параболу.
б) Выделим полный квадрат: \[\begin{aligned} &2x^2 + 8x + 10 = 2(x^2 + 4x) + 10 = {} \\ &= 2(x^2 + 4x + 4 - 4) + 10 = {} \\ &= 2(x^2 + 4x + 4) - 8 + 10 = 2(x + 2)^2 + 2. \end{aligned}\] Значит, график функции \(y = 2(x + 2)^2 + 2\) получается из параболы \(y = x^2\) так: сдвигаем её на 2 единицы влево и получаем параболу \(y = (x + 2)^2\) с вершиной \((-2; 0)\); растягиваем её вдоль оси ординат в 2 раза и получаем параболу \(y = 2(x + 2)^2\); сдвигаем эту параболу на 2 единицы вверх. Вершина получившейся параболы — точка \((-2; 2)\), ветви направлены вверх. Так как \(2(x + 2)^2 \geqslant 0\), то \(y \geqslant 2\) при любом \(x\), и парабола не пересекает ось \(x\). Ось \(y\) она пересекает в точке \((0; 10)\), а точка \((-4; 10)\) симметрична ей относительно прямой \(x = -2\). Ещё две точки: при \(x = -3\) и при \(x = -1\) имеем \((x + 2)^2 = 1\) и \(y = 2 \cdot 1 + 2 = 4\).
в) Сначала найдём ключевые точки параболы \(y = x^2 + 7x + 6\); её ветви направлены вверх, так как коэффициент при \(x^2\) равен \(1 > 0\). Координаты вершины: \[\begin{aligned} x_0 &= -\frac{7}{2 \cdot 1} = -3{,}5; \\ y_0 &= (-3{,}5)^2 + 7 \cdot (-3{,}5) + 6 = 12{,}25 - 24{,}5 + 6 = -6{,}25. \end{aligned}\] Нули функции — корни уравнения \(x^2 + 7x + 6 = 0\): \(D = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25\), \(x = \frac{-7 - 5}{2} = -6\), \(x = \frac{-7 + 5}{2} = -1\). Ось \(y\) парабола пересекает в точке \((0; 6)\), а точка \((-7; 6)\) симметрична ей относительно оси параболы \(x = -3{,}5\).
Если \(x^2 + 7x + 6 \geqslant 0\), то \(|x^2 + 7x + 6| = x^2 + 7x + 6\), а если \(x^2 + 7x + 6 < 0\), то \(|x^2 + 7x + 6| = -(x^2 + 7x + 6)\). Поэтому график функции \(y = |x^2 + 7x + 6|\) получается так: часть параболы, расположенную в нижней полуплоскости (при \(-6 < x < -1\)), отражаем симметрично относительно оси абсцисс, а остальная часть параболы остаётся на месте. Вершина параболы \((-3{,}5; -6{,}25)\) переходит при этом в точку \((-3{,}5; 6{,}25)\).
г) Сначала найдём ключевые точки параболы \(y = \frac{1}{2}x^2 - 3x + 4\); её ветви направлены вверх, так как коэффициент при \(x^2\) равен \(\frac{1}{2} > 0\). Координаты вершины: \[\begin{aligned} x_0 &= -\frac{-3}{2 \cdot \frac{1}{2}} = 3; \\ y_0 &= \frac{1}{2} \cdot 3^2 - 3 \cdot 3 + 4 = 4{,}5 - 9 + 4 = -0{,}5. \end{aligned}\] Нули функции — корни уравнения \(\frac{1}{2}x^2 - 3x + 4 = 0\). Умножим обе части уравнения на 2: \[\begin{aligned} \frac{1}{2}x^2 - 3x + 4 &= 0; \qquad | \cdot 2 \\ x^2 - 6x + 8 &= 0; \\ D &= (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 4. \end{aligned}\] Корни уравнения: \(\frac{6 - 2}{2} = 2\) и \(\frac{6 + 2}{2} = 4\). Ось \(y\) парабола пересекает в точке \((0; 4)\), а точка \((6; 4)\) симметрична ей относительно оси параболы \(x = 3\).
Там, где \(\frac{1}{2}x^2 - 3x + 4 \geqslant 0\), модуль не меняет выражения, а там, где \(\frac{1}{2}x^2 - 3x + 4 < 0\), заменяет его противоположным. Поэтому часть параболы, расположенную в нижней полуплоскости (при \(2 < x < 4\)), отражаем симметрично относительно оси абсцисс, а остальная часть параболы остаётся на месте: так получается график функции \(y = \left|\frac{1}{2}x^2 - 3x + 4\right|\). Вершина параболы \((3; -0{,}5)\) переходит при этом в точку \((3; 0{,}5)\).
