Страница 43 номер 159, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Найдите координаты ключевых точек параболы \(y = x^2 + 5x - 6\).
Вершина параболы: \[\begin{aligned} x_0 &= -\frac{5}{2 \cdot 1} = -2{,}5; \\ y_0 &= (-2{,}5)^2 + 5 \cdot (-2{,}5) - 6 = 6{,}25 - 12{,}5 - 6 = -12{,}25. \end{aligned}\]
Нули функции — корни уравнения \(x^2 + 5x - 6 = 0\): \[\begin{aligned} D &= 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 25 + 24 = 49; \\ x_1 &= \frac{-5 - \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{-5 - 7}{2} = -6; \\ x_2 &= \frac{-5 + \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{-5 + 7}{2} = 1. \end{aligned}\] Значит, парабола пересекает ось \(x\) в точках \((-6; 0)\) и \((1; 0)\).
\((0; -6)\) — точка пересечения с осью \(y\), её ордината равна свободному члену.
\(\frac{-6 + 1}{2} = -2{,}5\) — абсцисса вершины лежит посередине между нулями.
\(\frac{4 \cdot 1 \cdot (-6) - 5^2}{4 \cdot 1} = \frac{-49}{4} = -12{,}25\) — ордината вершины по формуле \(\frac{4ac - b^2}{4a}\) та же, вычисления верны.
Ответ: вершина \((-2{,}5; -12{,}25)\); точки пересечения с осью \(x\) — \((-6; 0)\) и \((1; 0)\), с осью \(y\) — \((0; -6)\).
Найдите координаты ключевых точек параболы \(y = x^2 + 5x - 6\).
Ключевые точки параболы — её вершина и точки пересечения с осями координат. Найдём координаты вершины: \[\begin{aligned} x_0 &= -\frac{5}{2 \cdot 1} = -2{,}5; \\ y_0 &= (-2{,}5)^2 + 5 \cdot (-2{,}5) - 6 = 6{,}25 - 12{,}5 - 6 = -12{,}25. \end{aligned}\]
Найдём точки пересечения параболы с осью \(x\). Их абсциссы — корни уравнения \(x^2 + 5x - 6 = 0\): \[\begin{aligned} D &= 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 25 + 24 = 49; \\ x_1 &= \frac{-5 - \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{-5 - 7}{2} = -6; \\ x_2 &= \frac{-5 + \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{-5 + 7}{2} = 1. \end{aligned}\] Значит, парабола пересекает ось \(x\) в точках \((-6; 0)\) и \((1; 0)\).
Ордината точки пересечения параболы с осью \(y\) равна свободному члену, поэтому эта точка — \((0; -6)\).
Проверим вычисления: абсцисса вершины лежит посередине между нулями функции, \(\frac{-6 + 1}{2} = -2{,}5\), а ордината вершины совпадает со значением по формуле \(\frac{4ac - b^2}{4a}\): \(\frac{4 \cdot 1 \cdot (-6) - 5^2}{4 \cdot 1} = \frac{-49}{4} = -12{,}25\).
Ответ: вершина \((-2{,}5; -12{,}25)\); точки пересечения с осью \(x\) — \((-6; 0)\) и \((1; 0)\), с осью \(y\) — \((0; -6)\).
