Страница 43 номер 157, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень

Сначала построим график функции \(y = |3x + 5|\). Прямая \(y = 3x + 5\) проходит через точки \((-1; 2)\) и \((-2; -1)\): при \(x = -1\) получаем \(y = 3 \cdot (-1) + 5 = 2\), при \(x = -2\) получаем \(y = 3 \cdot (-2) + 5 = -1\). Она пересекает ось \(x\) в точке \(\left(-\frac{5}{3}; 0\right)\), так как \(3x + 5 = 0\) при \(x = -\frac{5}{3}\). Если \(3x + 5 < 0\), то \(|3x + 5| = -(3x + 5)\), поэтому часть этой прямой, расположенную в нижней полуплоскости (при \(x < -\frac{5}{3}\)), отражаем симметрично относительно оси абсцисс, а остальная часть прямой остаётся на месте. Получаем график функции \(y = |3x + 5|\): два луча с общим началом в точке \(\left(-\frac{5}{3}; 0\right)\), правый из которых проходит через точку \((0; 5)\).

При каждом \(x\) значения функций \(y = -|3x + 5|\) и \(y = |3x + 5|\) — противоположные числа, поэтому точки \((x; |3x + 5|)\) и \((x; -|3x + 5|)\) симметричны друг другу относительно оси абсцисс. Значит, график функции \(y = -|3x + 5|\) получается отражением графика функции \(y = |3x + 5|\) симметрично относительно оси \(x\): это два луча с общим началом в точке \(\left(-\frac{5}{3}; 0\right)\), направленные вниз; правый луч пересекает ось \(y\) в точке \((0; -5)\).

Модуль любого числа неотрицателен, поэтому \(-|3x + 5| \leqslant 0\) при любом \(x\), причём \(-|3x + 5| = 0\) только тогда, когда \(3x + 5 = 0\), то есть при \(x = -\frac{5}{3}\). Значит, наибольшее значение функции равно 0 и достигается оно при \(x = -\frac{5}{3}\) — это абсцисса вершины графика \(\left(-\frac{5}{3}; 0\right)\).

Ответ: при \(x = -\frac{5}{3}\) (наибольшее значение функции равно 0).