Страница 42 номер 149, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Моторная лодка прошла против течения реки 108 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 3 часа меньше. Найдите скорость течения реки, если скорость лодки в неподвижной воде равна 15 км/ч. Ответ дайте в км/ч.
Дано:
\(s = 108\) км — путь в одну сторону
скорость лодки в неподвижной воде — 15 км/ч
на обратный путь затрачено на 3 ч меньше
Найти: скорость течения реки.
Решение:
Пусть скорость течения реки \(x\) км/ч. По смыслу задачи \(x > 0\), а так как лодка шла и против течения, то \(x < 15\).
Против течения лодка затратила \(\frac{108}{15 - x}\) ч, по течению — \(\frac{108}{15 + x}\) ч, на 3 ч меньше.
При \(0 < x < 15\) число \((15 - x)(15 + x)\) положительно: \[\begin{aligned} \frac{108}{15 - x} - \frac{108}{15 + x} &= 3; \qquad | \cdot (15 - x)(15 + x) \\ 108(15 + x) - 108(15 - x) &= 3(15 - x)(15 + x); \\ 1620 + 108x - 1620 + 108x &= 3(225 - x^2); \\ 216x &= 675 - 3x^2; \\ 3x^2 + 216x - 675 &= 0; \qquad | : 3 \\ x^2 + 72x - 225 &= 0; \\ D &= 72^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-225) = 5184 + 900 = 6084; \\ x_1 &= \frac{-72 - \sqrt{6084}}{2 \cdot 1} = \frac{-72 - 78}{2} = -75; \\ x_2 &= \frac{-72 + \sqrt{6084}}{2 \cdot 1} = \frac{-72 + 78}{2} = 3. \end{aligned}\] Корень \(-75\) не подходит: скорость течения положительна. Значит, скорость течения реки 3 км/ч.
Проверка: против течения лодка шла со скоростью \(15 - 3 = 12\) (км/ч) и затратила \(108 : 12 = 9\) (ч), по течению — со скоростью \(15 + 3 = 18\) (км/ч) и затратила \(108 : 18 = 6\) (ч); \(9 - 6 = 3\) (ч).
Ответ: 3 км/ч.
Моторная лодка прошла против течения реки 108 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 3 часа меньше. Найдите скорость течения реки, если скорость лодки в неподвижной воде равна 15 км/ч. Ответ дайте в км/ч.
Дано:
\(s = 108\) км — путь в одну сторону
скорость лодки в неподвижной воде — 15 км/ч
на обратный путь затрачено на 3 ч меньше
Найти: скорость течения реки.
Решение:
Пусть скорость течения реки \(x\) км/ч. По смыслу задачи \(x > 0\), а так как лодка шла и против течения, то \(x < 15\). Против течения лодка шла со скоростью \((15 - x)\) км/ч и затратила \(\frac{108}{15 - x}\) ч, обратно, по течению, — со скоростью \((15 + x)\) км/ч и затратила \(\frac{108}{15 + x}\) ч, то есть на 3 ч меньше. Составим уравнение; при \(0 < x < 15\) число \((15 - x)(15 + x)\) положительно — умножим обе части уравнения на это положительное число: \[\begin{aligned} \frac{108}{15 - x} - \frac{108}{15 + x} &= 3; \qquad | \cdot (15 - x)(15 + x) \\ 108(15 + x) - 108(15 - x) &= 3(15 - x)(15 + x); \\ 1620 + 108x - 1620 + 108x &= 3(225 - x^2); \\ 216x &= 675 - 3x^2; \\ 3x^2 + 216x - 675 &= 0; \qquad | : 3 \\ x^2 + 72x - 225 &= 0; \\ D &= 72^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-225) = 5184 + 900 = 6084; \\ x_1 &= \frac{-72 - \sqrt{6084}}{2 \cdot 1} = \frac{-72 - 78}{2} = -75; \\ x_2 &= \frac{-72 + \sqrt{6084}}{2 \cdot 1} = \frac{-72 + 78}{2} = 3. \end{aligned}\] Корень \(-75\) не подходит по смыслу задачи: скорость течения положительна. Значит, скорость течения реки 3 км/ч.
Проверка: против течения лодка шла со скоростью \(15 - 3 = 12\) (км/ч) и затратила \(108 : 12 = 9\) (ч), по течению — со скоростью \(15 + 3 = 18\) (км/ч) и затратила \(108 : 18 = 6\) (ч); \(9 - 6 = 3\) (ч).
Ответ: 3 км/ч.
