Страница 42 номер 145, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень

Глава 1. Квадратичная функция. §7. Исследование функций. Страница 42. Номер 145

Решение:

а) При \(x < 0\) функция \(f(x)\) совпадает с функцией \(g(x) = -\frac{5}{x}\). Её график — гипербола с коэффициентом \(k = -5 < 0\): ветви лежат во II и IV координатных четвертях, асимптоты — оси координат. При \(x < 0\) график функции \(f(x)\) — ветвь гиперболы во II четверти, она проходит через точки \((-5; 1)\), \((-2{,}5; 2)\), \((-1; 5)\).

При \(x \geqslant 0\) функция \(f(x)\) совпадает с функцией \(h(x) = x - 5\), и её график — часть прямой \(y = x - 5\), которая начинается точкой \((0; -5)\) (эта точка принадлежит графику) и проходит через точку \((5; 0)\).

график

• Условия \(x < 0\) и \(x \geqslant 0\) охватывают все действительные числа. Выражение \(x - 5\) определено при любом \(x\), а выражение \(-\frac{5}{x}\) не определено при \(x = 0\), но при \(x = 0\) функция задаётся выражением \(x - 5\). Следовательно, \(D(f) = (-\infty; +\infty)\).
• При \(x < 0\) дробь \(-\frac{5}{x}\) принимает все положительные значения (значение \(t > 0\) — при \(x = -\frac{5}{t}\)). При \(x \geqslant 0\) выражение \(x - 5\) принимает все значения, не меньшие \(-5\) (значение \(c \geqslant -5\) — при \(x = c + 5\)). Значит, \(E(f) = [-5; +\infty)\).
• \(f(-1) = -\frac{5}{-1} = 5\), \(f(1) = 1 - 5 = -4\). Функция ни чётная, ни нечётная: \(f(-1) \ne f(1)\) и \(f(-1) \ne -f(1)\).
• Поскольку \(0 \geqslant 0\), \(f(0) = 0 - 5 = -5\) — график пересекает ось \(y\) в точке \((0; -5)\).
• Уравнение \(-\frac{5}{x} = 0\) корней не имеет: дробь с числителем \(-5\) не равна нулю. Из уравнения \(x - 5 = 0\) получаем \(x = 5\); поскольку \(5 \geqslant 0\), \(f(5) = h(5) = 0\). Нуль функции — число 5: график пересекает ось \(x\) в точке \((5; 0)\).
• При \(x < 0\) дробь \(-\frac{5}{x}\) положительна как частное двух отрицательных чисел. При \(x \geqslant 0\) выражение \(x - 5\) отрицательно, если \(0 \leqslant x < 5\), и положительно, если \(x > 5\). Значит, \(f(x) > 0\) при \(x \in (-\infty; 0) \cup (5; +\infty)\) и \(f(x) < 0\) при \(x \in [0; 5)\).
• Функция \(y = -\frac{5}{x}\) (\(k < 0\)) возрастает на промежутке \((-\infty; 0)\), линейная функция \(y = x - 5\) возрастает, поэтому \(f(x)\) возрастает на промежутках \((-\infty; 0)\) и \([0; +\infty)\). На всей числовой прямой она не возрастает: \(-1 < 0\), но \(f(-1) = 5\) больше, чем \(f(0) = -5\).
• Наименьшее значение функции равно \(-5\) (при \(x = 0\)), наибольшего значения нет.
• Асимптоты графика — прямые \(x = 0\) и \(y = 0\) (оси координат): к ним приближается ветвь гиперболы \(y = -\frac{5}{x}\) при \(x < 0\). У части графика при \(x \geqslant 0\) асимптот нет.

б) При \(x < 3\) график функции \(f(x)\) — часть горизонтальной прямой \(y = -5\), которая заканчивается выколотой точкой \((3; -5)\).

При \(x = 3\) график — отдельная точка \((3; 2)\).

\(x^2 - 3x + 3 = (x - 1{,}5)^2 + 0{,}75\), поэтому график функции \(y = x^2 - 3x + 3\) — парабола с вершиной \((1{,}5; 0{,}75)\), ветви которой направлены вверх. При \(x > 3\) график функции \(f(x)\) — часть этой параболы правее прямой \(x = 3\); она начинается выколотой точкой \((3; 3)\): \(3^2 - 3 \cdot 3 + 3 = 3\).

график

• Условия \(x < 3\), \(x = 3\) и \(x > 3\) охватывают все действительные числа, а каждое из выражений определено при любом \(x\). Следовательно, \(D(f) = (-\infty; +\infty)\).
• При \(x > 3\) имеем \(x - 1{,}5 > 1{,}5\), поэтому \((x - 1{,}5)^2 > 2{,}25\) и \(f(x) = (x - 1{,}5)^2 + 0{,}75 > 3\); при этом любое число \(c > 3\) функция принимает — при \(x = 1{,}5 + \sqrt{c - 0{,}75}\): это число больше 3, так как \(\sqrt{c - 0{,}75} > \sqrt{2{,}25} = 1{,}5\). Кроме того, \(f(x) = -5\) при \(x < 3\) и \(f(3) = 2\). Значит, \(E(f) = \{-5; 2\} \cup (3; +\infty)\).
• \(f(-4) = -5\), \(f(4) = 16 - 12 + 3 = 7\). Функция ни чётная, ни нечётная: \(f(-4) \ne f(4)\) и \(f(-4) \ne -f(4)\).
• Поскольку \(0 < 3\), \(f(0) = -5\) — график пересекает ось \(y\) в точке \((0; -5)\).
• Значения \(-5\) и 2 не равны нулю, а уравнение \(x^2 - 3x + 3 = 0\) корней не имеет: \(D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 9 - 12 = -3 < 0\). Следовательно, нулей у функции нет, и её график не пересекает ось \(x\).
• При \(x < 3\) все значения функции равны \(-5\), при \(x = 3\) значение равно 2, а при \(x > 3\) значения больше 3. Значит, \(f(x) < 0\) при \(x \in (-\infty; 3)\) и \(f(x) > 0\) при \(x \in [3; +\infty)\).
• На промежутке \((-\infty; 3)\) функция постоянна: все её значения равны \(-5\). Квадратичная функция \(y = x^2 - 3x + 3\) возрастает на промежутке \([1{,}5; +\infty)\), а значит, и на промежутке \((3; +\infty)\); значение \(f(3) = 2\) меньше всех значений функции при \(x > 3\). Поэтому \(f(x)\) возрастает на промежутке \([3; +\infty)\).
• Наименьшее значение функции равно \(-5\) (при любом \(x < 3\)), наибольшего значения нет.

Ответ: а) \(D(f) = (-\infty; +\infty)\); \(E(f) = [-5; +\infty)\); функция ни чётная, ни нечётная; пересечение с осью \(y\) — точка \((0; -5)\); нуль функции — 5; \(f(x) > 0\) при \(x \in (-\infty; 0) \cup (5; +\infty)\), \(f(x) < 0\) при \(x \in [0; 5)\); функция возрастает на промежутках \((-\infty; 0)\) и \([0; +\infty)\); наименьшее значение \(-5\), наибольшего нет; асимптоты — прямые \(x = 0\) и \(y = 0\); б) \(D(f) = (-\infty; +\infty)\); \(E(f) = \{-5; 2\} \cup (3; +\infty)\); функция ни чётная, ни нечётная; пересечение с осью \(y\) — точка \((0; -5)\); нулей нет; \(f(x) < 0\) при \(x \in (-\infty; 3)\), \(f(x) > 0\) при \(x \in [3; +\infty)\); на промежутке \((-\infty; 3)\) функция постоянна, на промежутке \([3; +\infty)\) возрастает; наименьшее значение \(-5\), наибольшего нет.

Решение:

а) Исследуем функцию \[f(x) = \begin{cases} -\frac{5}{x} & \text{при } x < 0, \\ x - 5 & \text{при } x \geqslant 0. \end{cases}\] При \(x < 0\) функция \(f(x)\) совпадает с функцией \(g(x) = -\frac{5}{x}\). Её график — гипербола с коэффициентом \(k = -5 < 0\): ветви лежат во II и IV координатных четвертях, асимптоты — оси координат. При \(x < 0\) график функции \(f(x)\) — ветвь гиперболы во II четверти; она проходит через точки \((-5; 1)\), \((-2{,}5; 2)\), \((-1; 5)\). При \(x \geqslant 0\) функция \(f(x)\) совпадает с функцией \(h(x) = x - 5\), и её график — часть прямой \(y = x - 5\), которая начинается точкой \((0; -5)\) (эта точка принадлежит графику) и проходит через точку \((5; 0)\). Построим график функции \(f(x)\).

график

Перечислим основные свойства согласно плану.
• Условия \(x < 0\) и \(x \geqslant 0\) охватывают все действительные числа. Выражение \(x - 5\) определено при любом \(x\), а выражение \(-\frac{5}{x}\) не определено при \(x = 0\), но при \(x = 0\) функция задаётся выражением \(x - 5\). Следовательно, \(D(f) = (-\infty; +\infty)\).
• При \(x < 0\) дробь \(-\frac{5}{x}\) принимает все положительные значения (значение \(t > 0\) — при \(x = -\frac{5}{t}\)). При \(x \geqslant 0\) выражение \(x - 5\) принимает все значения, не меньшие \(-5\) (значение \(c \geqslant -5\) — при \(x = c + 5\)). Значит, \(E(f) = [-5; +\infty)\).
• \(f(-1) = -\frac{5}{-1} = 5\), \(f(1) = 1 - 5 = -4\). Функция не является чётной, так как \(f(-1) \ne f(1)\), и не является нечётной, так как \(f(-1) \ne -f(1)\).
• Поскольку \(0 \geqslant 0\), \(f(0) = 0 - 5 = -5\). Значит, график пересекает ось \(y\) в точке с координатами \((0; -5)\).
• Уравнение \(-\frac{5}{x} = 0\) корней не имеет: дробь с числителем \(-5\) не равна нулю. Из уравнения \(x - 5 = 0\) получаем \(x = 5\); поскольку \(5 \geqslant 0\), \(f(5) = h(5) = 0\). Нуль функции — число 5: график пересекает ось \(x\) в точке \((5; 0)\).
• При \(x < 0\) дробь \(-\frac{5}{x}\) положительна как частное двух отрицательных чисел. При \(x \geqslant 0\) выражение \(x - 5\) отрицательно, если \(0 \leqslant x < 5\), и положительно, если \(x > 5\). Значит, \(f(x) > 0\) при \(x \in (-\infty; 0) \cup (5; +\infty)\) и \(f(x) < 0\) при \(x \in [0; 5)\).
• Функция \(y = -\frac{5}{x}\) (\(k < 0\)) возрастает на промежутке \((-\infty; 0)\), линейная функция \(y = x - 5\) возрастает. Поэтому \(f(x)\) возрастает на промежутках \((-\infty; 0)\) и \([0; +\infty)\). На всей числовой прямой она не возрастает: \(-1 < 0\), но \(f(-1) = 5\) больше, чем \(f(0) = -5\).
• Наименьшее значение функции равно \(-5\), оно достигается при \(x = 0\); наибольшего значения у функции нет.
• Асимптоты графика — прямые \(x = 0\) и \(y = 0\) (оси координат): к ним приближается ветвь гиперболы \(y = -\frac{5}{x}\) при \(x < 0\). У части графика при \(x \geqslant 0\) асимптот нет.

б) Исследуем функцию \[f(x) = \begin{cases} -5 & \text{при } x < 3, \\ 2 & \text{при } x = 3, \\ x^2 - 3x + 3 & \text{при } x > 3. \end{cases}\] При \(x < 3\) график функции \(f(x)\) — часть горизонтальной прямой \(y = -5\), которая заканчивается выколотой точкой \((3; -5)\). При \(x = 3\) график — отдельная точка \((3; 2)\). При \(x > 3\) функция совпадает с функцией \(y = x^2 - 3x + 3\). Выделим полный квадрат: \(x^2 - 3x + 3 = (x - 1{,}5)^2 + 0{,}75\), поэтому графиком функции \(y = x^2 - 3x + 3\) является парабола с вершиной \((1{,}5; 0{,}75)\), ветви которой направлены вверх. При \(x > 3\) график функции \(f(x)\) — часть этой параболы правее прямой \(x = 3\); она начинается выколотой точкой \((3; 3)\), так как \(3^2 - 3 \cdot 3 + 3 = 3\). Построим график функции \(f(x)\).

график

Перечислим основные свойства согласно плану.
• Условия \(x < 3\), \(x = 3\) и \(x > 3\) охватывают все действительные числа, а каждое из выражений определено при любом \(x\). Следовательно, \(D(f) = (-\infty; +\infty)\).
• При \(x > 3\) имеем \(x - 1{,}5 > 1{,}5\), поэтому \((x - 1{,}5)^2 > 2{,}25\) и \(f(x) = (x - 1{,}5)^2 + 0{,}75 > 3\); при этом любое число \(c > 3\) функция принимает — при \(x = 1{,}5 + \sqrt{c - 0{,}75}\): это число больше 3, так как \(\sqrt{c - 0{,}75} > \sqrt{2{,}25} = 1{,}5\). Кроме того, \(f(x) = -5\) при \(x < 3\) и \(f(3) = 2\). Значит, \(E(f) = \{-5; 2\} \cup (3; +\infty)\).
• \(f(-4) = -5\), \(f(4) = 16 - 12 + 3 = 7\). Функция не является чётной, так как \(f(-4) \ne f(4)\), и не является нечётной, так как \(f(-4) \ne -f(4)\).
• Поскольку \(0 < 3\), \(f(0) = -5\). Значит, график пересекает ось \(y\) в точке с координатами \((0; -5)\).
• Значения \(-5\) и 2 не равны нулю, а уравнение \(x^2 - 3x + 3 = 0\) корней не имеет: \(D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 9 - 12 = -3 < 0\). Следовательно, нулей у функции нет, и её график не пересекает ось \(x\).
• При \(x < 3\) все значения функции равны \(-5\), при \(x = 3\) значение равно 2, а при \(x > 3\) значения больше 3. Значит, \(f(x) < 0\) при \(x \in (-\infty; 3)\) и \(f(x) > 0\) при \(x \in [3; +\infty)\).
• На промежутке \((-\infty; 3)\) функция постоянна: все её значения равны \(-5\). Квадратичная функция \(y = x^2 - 3x + 3\) возрастает на промежутке \([1{,}5; +\infty)\), а значит, и на промежутке \((3; +\infty)\); значение \(f(3) = 2\) меньше всех значений функции при \(x > 3\). Поэтому \(f(x)\) возрастает на промежутке \([3; +\infty)\).
• Наименьшее значение функции равно \(-5\), оно достигается при любом \(x < 3\); наибольшего значения у функции нет.