Страница 42 номер 144, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень

Глава 1. Квадратичная функция. §7. Исследование функций. Страница 42. Номер 144

Решение:

а) При \(x \leqslant 2\) функция \(f(x)\) совпадает с функцией \(g(x) = \frac{1}{x} + 1{,}5\). Её график — гипербола \(y = \frac{1}{x}\), сдвинутая на \(1{,}5\) единицы вверх; асимптоты — прямые \(x = 0\) и \(y = 1{,}5\). При \(x < 0\) график функции \(f(x)\) — вся левая ветвь гиперболы, а при \(0 < x \leqslant 2\) — часть правой ветви, которая заканчивается точкой \((2; 2)\): \(g(2) = \frac{1}{2} + 1{,}5 = 2\).

При \(x > 2\) функция \(f(x)\) совпадает с функцией \(h(x) = 6x - 10\), и её график — часть прямой \(y = 6x - 10\), которая продолжает график от той же точки \((2; 2)\): \(h(2) = 6 \cdot 2 - 10 = 2\).

график

• Условия \(x \leqslant 2\) и \(x > 2\) охватывают все действительные числа. Выражение \(6x - 10\) определено при любом \(x\), а выражение \(\frac{1}{x} + 1{,}5\) не определено при \(x = 0\), и число 0 удовлетворяет условию \(x \leqslant 2\). Следовательно, \(D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)\).
• При \(x < 0\) дробь \(\frac{1}{x}\) принимает все отрицательные значения (значение \(t < 0\) — при \(x = \frac{1}{t}\)), поэтому функция принимает все значения, меньшие \(1{,}5\). При \(0 < x \leqslant 2\) дробь \(\frac{1}{x}\) принимает все значения, не меньшие \(\frac{1}{2}\) (значение \(t \geqslant \frac{1}{2}\) — при \(x = \frac{1}{t}\)), поэтому функция принимает все значения, не меньшие 2. При \(x > 2\) значения \(6x - 10 > 2\) — они среди уже найденных. Значит, \(E(f) = (-\infty; 1{,}5) \cup [2; +\infty)\).
• Область определения симметрична относительно нуля. \(f(1) = 1 + 1{,}5 = 2{,}5\), \(f(-1) = -1 + 1{,}5 = 0{,}5\). Функция ни чётная, ни нечётная: \(f(-1) \ne f(1)\) и \(f(-1) \ne -f(1)\).
• Число 0 не принадлежит области определения, поэтому график функции \(f(x)\) не пересекает ось \(y\).
• Из уравнения \(\frac{1}{x} + 1{,}5 = 0\) получаем \(\frac{1}{x} = -1{,}5\), \(x = -\frac{2}{3}\). Поскольку \(-\frac{2}{3} < 2\), то \(f\left(-\frac{2}{3}\right) = g\left(-\frac{2}{3}\right) = 0\). Из уравнения \(6x - 10 = 0\) получаем \(x = \frac{5}{3}\), но \(\frac{5}{3} < 2\), и в этой точке функция задаётся первым выражением: \(f\left(\frac{5}{3}\right) = \frac{3}{5} + 1{,}5 = 2{,}1\), то есть \(\frac{5}{3}\) — не нуль функции. Единственный нуль функции — число \(-\frac{2}{3}\): график пересекает ось \(x\) в точке \(\left(-\frac{2}{3}; 0\right)\).
• Функция \(y = \frac{1}{x}\) убывает на промежутке \((-\infty; 0)\), поэтому на нём убывает и функция \(f(x)\), а её нуль на этом промежутке — число \(-\frac{2}{3}\). Значит, \(f(x) > 0\) при \(x < -\frac{2}{3}\) и \(f(x) < 0\) при \(-\frac{2}{3} < x < 0\). При \(0 < x \leqslant 2\) дробь \(\frac{1}{x}\) положительна и \(f(x) > 1{,}5\), а при \(x > 2\) значения \(6x - 10 > 2\). Следовательно, \(f(x) > 0\) при \(x \in \left(-\infty; -\frac{2}{3}\right) \cup (0; +\infty)\) и \(f(x) < 0\) при \(x \in \left(-\frac{2}{3}; 0\right)\).
• Функция \(y = \frac{1}{x}\) убывает на каждом из промежутков \((-\infty; 0)\) и \((0; +\infty)\), поэтому функция \(f(x)\) убывает на промежутках \((-\infty; 0)\) и \((0; 2]\). Функция \(h(x) = 6x - 10\) возрастает, а \(f(2) = 2\) меньше её значений при \(x > 2\), поэтому \(f(x)\) возрастает на промежутке \([2; +\infty)\).
• Множество значений \((-\infty; 1{,}5) \cup [2; +\infty)\) не содержит ни наибольшего, ни наименьшего числа, поэтому ни наибольшего, ни наименьшего значения у функции нет.
• Асимптоты графика — прямые \(x = 0\) (ось \(y\)) и \(y = 1{,}5\): к прямой \(x = 0\) график приближается с обеих сторон, к прямой \(y = 1{,}5\) — левой ветвью. У части графика при \(x > 2\) асимптот нет.

б) \(x^2 - 4x + 5 = (x - 2)^2 + 1\), поэтому график функции \(y = x^2 - 4x + 5\) — парабола с вершиной \((2; 1)\), ветви которой направлены вверх.

При \(x < 1\) график функции \(f(x)\) — часть этой параболы левее прямой \(x = 1\); она заканчивается выколотой точкой \((1; 2)\): \(1^2 - 4 \cdot 1 + 5 = 2\).

При \(x = 1\) график — отдельная точка \((1; -1)\).

При \(x > 1\) график — часть прямой \(y = x + 2\), которая начинается выколотой точкой \((1; 3)\): \(1 + 2 = 3\).

график

• Условия \(x < 1\), \(x = 1\) и \(x > 1\) охватывают все действительные числа, а каждое из выражений определено при любом \(x\). Следовательно, \(D(f) = (-\infty; +\infty)\).
• При \(x < 1\) имеем \(x - 2 < -1\), поэтому \((x - 2)^2 > 1\) и \(f(x) = (x - 2)^2 + 1 > 2\); при этом любое число \(c > 2\) функция принимает — при \(x = 2 - \sqrt{c - 1}\): это число меньше 1, так как \(\sqrt{c - 1} > 1\). При \(x > 1\) значения \(x + 2 > 3\) — они среди уже найденных. Наконец, \(f(1) = -1\). Значит, \(E(f) = \{-1\} \cup (2; +\infty)\).
• \(f(1) = -1\), \(f(-1) = 1 + 4 + 5 = 10\). Функция ни чётная, ни нечётная: \(f(-1) \ne f(1)\) и \(f(-1) \ne -f(1)\).
• Поскольку \(0 < 1\), \(f(0) = 0^2 - 4 \cdot 0 + 5 = 5\) — график пересекает ось \(y\) в точке \((0; 5)\).
• Уравнение \(x^2 - 4x + 5 = 0\) корней не имеет: \(D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 16 - 20 = -4 < 0\). Из уравнения \(x + 2 = 0\) получаем \(x = -2\), но \(-2 < 1\), и в этой точке функция задаётся первым выражением: \(f(-2) = 4 + 8 + 5 = 17\). Значение \(f(1) = -1\) тоже не равно нулю. Следовательно, нулей у функции нет, и её график не пересекает ось \(x\).
• При \(x \ne 1\) все значения функции больше 2, поэтому \(f(x) > 0\) при \(x \in (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)\);
\(f(x) < 0\) только при \(x = 1\).
• При \(x < 1\) функция совпадает с квадратичной функцией \(y = x^2 - 4x + 5\), которая убывает на промежутке \((-\infty; 2]\), а значит, и на промежутке \((-\infty; 1)\); при \(x > 1\) — с возрастающей линейной функцией \(y = x + 2\). Значение \(f(1) = -1\) меньше всех остальных значений функции, поэтому \(f(x)\) убывает на промежутке \((-\infty; 1]\) и возрастает на промежутке \([1; +\infty)\).
• Наименьшее значение функции равно \(-1\) (при \(x = 1\)), наибольшего значения нет.

Ответ: а) \(D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)\); \(E(f) = (-\infty; 1{,}5) \cup [2; +\infty)\); функция ни чётная, ни нечётная; ось \(y\) график не пересекает; нуль функции — \(-\frac{2}{3}\); \(f(x) > 0\) при \(x \in \left(-\infty; -\frac{2}{3}\right) \cup (0; +\infty)\), \(f(x) < 0\) при \(x \in \left(-\frac{2}{3}; 0\right)\); функция убывает на промежутках \((-\infty; 0)\) и \((0; 2]\) и возрастает на промежутке \([2; +\infty)\); наибольшего и наименьшего значений нет; асимптоты — прямые \(x = 0\) и \(y = 1{,}5\); б) \(D(f) = (-\infty; +\infty)\); \(E(f) = \{-1\} \cup (2; +\infty)\); функция ни чётная, ни нечётная; пересечение с осью \(y\) — точка \((0; 5)\); нулей нет; \(f(x) > 0\) при \(x \in (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)\), \(f(x) < 0\) при \(x = 1\); функция убывает на промежутке \((-\infty; 1]\) и возрастает на промежутке \([1; +\infty)\); наименьшее значение \(-1\), наибольшего нет.

Решение:

а) Исследуем функцию \[f(x) = \begin{cases} \frac{1}{x} + 1{,}5 & \text{при } x \leqslant 2, \\ 6x - 10 & \text{при } x > 2. \end{cases}\] При \(x \leqslant 2\) функция \(f(x)\) совпадает с функцией \(g(x) = \frac{1}{x} + 1{,}5\). Её график — гипербола \(y = \frac{1}{x}\), сдвинутая на \(1{,}5\) единицы вверх; асимптоты этой гиперболы — прямые \(x = 0\) и \(y = 1{,}5\). Поэтому при \(x < 0\) график функции \(f(x)\) — вся левая ветвь гиперболы, а при \(0 < x \leqslant 2\) — часть правой ветви, которая заканчивается точкой \((2; 2)\): \(g(2) = \frac{1}{2} + 1{,}5 = 2\). При \(x > 2\) функция \(f(x)\) совпадает с функцией \(h(x) = 6x - 10\), и её график — часть прямой \(y = 6x - 10\). При \(x = 2\) значения функций \(g(x)\) и \(h(x)\) совпадают: \(h(2) = 6 \cdot 2 - 10 = 2\), поэтому эта часть графика продолжает его от той же точки \((2; 2)\). Построим график функции \(f(x)\).

график

Перечислим основные свойства согласно плану.
• Условия \(x \leqslant 2\) и \(x > 2\) охватывают все действительные числа. Выражение \(6x - 10\) определено при любом \(x\), а выражение \(\frac{1}{x} + 1{,}5\) не определено при \(x = 0\), и число 0 удовлетворяет условию \(x \leqslant 2\), при котором функция задаётся именно этим выражением. Следовательно, \(D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)\).
• При \(x < 0\) дробь \(\frac{1}{x}\) принимает все отрицательные значения (значение \(t < 0\) — при \(x = \frac{1}{t}\)), поэтому функция принимает все значения, меньшие \(1{,}5\). При \(0 < x \leqslant 2\) дробь \(\frac{1}{x}\) принимает все значения, не меньшие \(\frac{1}{2}\) (значение \(t \geqslant \frac{1}{2}\) — при \(x = \frac{1}{t}\)), поэтому функция принимает все значения, не меньшие 2. При \(x > 2\) значения \(6x - 10 > 2\) — они среди уже найденных. Значит, \(E(f) = (-\infty; 1{,}5) \cup [2; +\infty)\).
• Область определения симметрична относительно нуля. \(f(1) = 1 + 1{,}5 = 2{,}5\), \(f(-1) = -1 + 1{,}5 = 0{,}5\). Функция не является чётной, так как \(f(-1) \ne f(1)\), и не является нечётной, так как \(f(-1) \ne -f(1)\).
• Число 0 не принадлежит области определения, поэтому график функции \(f(x)\) не пересекает ось \(y\).
• Найдём нули функций \(g(x)\) и \(h(x)\). Из уравнения \(\frac{1}{x} + 1{,}5 = 0\) получаем \(\frac{1}{x} = -1{,}5\), \(x = -\frac{2}{3}\). Поскольку \(-\frac{2}{3} < 2\), то \(f\left(-\frac{2}{3}\right) = g\left(-\frac{2}{3}\right) = 0\), и число \(-\frac{2}{3}\) — нуль функции \(f(x)\). Из уравнения \(6x - 10 = 0\) получаем \(x = \frac{5}{3}\), но \(\frac{5}{3} < 2\), и в этой точке функция задаётся первым выражением: \(f\left(\frac{5}{3}\right) = \frac{3}{5} + 1{,}5 = 2{,}1\). Значит, \(\frac{5}{3}\) — не нуль функции \(f(x)\). Единственный нуль функции — число \(-\frac{2}{3}\): график пересекает ось \(x\) в точке \(\left(-\frac{2}{3}; 0\right)\).
• Функция \(y = \frac{1}{x}\) убывает на промежутке \((-\infty; 0)\), поэтому на нём убывает и функция \(f(x)\), а её нуль на этом промежутке — число \(-\frac{2}{3}\). Значит, \(f(x) > 0\) при \(x < -\frac{2}{3}\) и \(f(x) < 0\) при \(-\frac{2}{3} < x < 0\). При \(0 < x \leqslant 2\) дробь \(\frac{1}{x}\) положительна и \(f(x) > 1{,}5\), а при \(x > 2\) значения \(6x - 10 > 2\). Следовательно, \(f(x) > 0\) при \(x \in \left(-\infty; -\frac{2}{3}\right) \cup (0; +\infty)\) и \(f(x) < 0\) при \(x \in \left(-\frac{2}{3}; 0\right)\).
• Функция \(y = \frac{1}{x}\) убывает на каждом из промежутков \((-\infty; 0)\) и \((0; +\infty)\), поэтому функция \(f(x)\) убывает на промежутках \((-\infty; 0)\) и \((0; 2]\). Функция \(h(x) = 6x - 10\) возрастает, а \(f(2) = 2\) меньше её значений при \(x > 2\), поэтому \(f(x)\) возрастает на промежутке \([2; +\infty)\).
• Множество значений \((-\infty; 1{,}5) \cup [2; +\infty)\) не содержит ни наибольшего, ни наименьшего числа, поэтому ни наибольшего, ни наименьшего значения у функции нет.
• Асимптоты графика — прямые \(x = 0\) (ось \(y\)) и \(y = 1{,}5\), асимптоты гиперболы \(y = \frac{1}{x} + 1{,}5\): к прямой \(x = 0\) график приближается с обеих сторон, к прямой \(y = 1{,}5\) — левой ветвью. У части графика при \(x > 2\) асимптот нет.

б) Исследуем функцию \[f(x) = \begin{cases} x^2 - 4x + 5 & \text{при } x < 1, \\ -1 & \text{при } x = 1, \\ x + 2 & \text{при } x > 1. \end{cases}\] Выделим полный квадрат: \(x^2 - 4x + 5 = (x - 2)^2 + 1\). Графиком функции \(y = x^2 - 4x + 5\) является парабола с вершиной \((2; 1)\), ветви которой направлены вверх. При \(x < 1\) график функции \(f(x)\) — часть этой параболы левее прямой \(x = 1\); она заканчивается выколотой точкой \((1; 2)\), так как \(1^2 - 4 \cdot 1 + 5 = 2\). При \(x = 1\) график — отдельная точка \((1; -1)\). При \(x > 1\) график — часть прямой \(y = x + 2\), которая начинается выколотой точкой \((1; 3)\), так как \(1 + 2 = 3\). Построим график функции \(f(x)\).

график

Перечислим основные свойства согласно плану.
• Условия \(x < 1\), \(x = 1\) и \(x > 1\) охватывают все действительные числа, а каждое из выражений определено при любом \(x\). Следовательно, \(D(f) = (-\infty; +\infty)\).
• При \(x < 1\) имеем \(x - 2 < -1\), поэтому \((x - 2)^2 > 1\) и \(f(x) = (x - 2)^2 + 1 > 2\); при этом любое число \(c > 2\) функция принимает — при \(x = 2 - \sqrt{c - 1}\): это число меньше 1, так как \(\sqrt{c - 1} > 1\). При \(x > 1\) значения \(x + 2 > 3\) — они среди уже найденных. Наконец, \(f(1) = -1\). Значит, \(E(f) = \{-1\} \cup (2; +\infty)\).
• \(f(1) = -1\), \(f(-1) = 1 + 4 + 5 = 10\). Функция не является чётной, так как \(f(-1) \ne f(1)\), и не является нечётной, так как \(f(-1) \ne -f(1)\).
• Поскольку \(0 < 1\), \(f(0) = 0^2 - 4 \cdot 0 + 5 = 5\). Значит, график пересекает ось \(y\) в точке с координатами \((0; 5)\).
• Уравнение \(x^2 - 4x + 5 = 0\) корней не имеет: \(D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 16 - 20 = -4 < 0\). Из уравнения \(x + 2 = 0\) получаем \(x = -2\), но \(-2 < 1\), и в этой точке функция задаётся первым выражением: \(f(-2) = 4 + 8 + 5 = 17\). Значение \(f(1) = -1\) тоже не равно нулю. Следовательно, нулей у функции нет, и её график не пересекает ось \(x\).
• При \(x \ne 1\) все значения функции больше 2, поэтому \(f(x) > 0\) при \(x \in (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)\);
\(f(x) < 0\) только при \(x = 1\).
• При \(x < 1\) функция совпадает с квадратичной функцией \(y = x^2 - 4x + 5\), которая убывает на промежутке \((-\infty; 2]\), а значит, и на промежутке \((-\infty; 1)\); при \(x > 1\) — с возрастающей линейной функцией \(y = x + 2\). Значение \(f(1) = -1\) меньше всех остальных значений функции. Поэтому \(f(x)\) убывает на промежутке \((-\infty; 1]\) и возрастает на промежутке \([1; +\infty)\).
• Наименьшее значение функции равно \(-1\), оно достигается при \(x = 1\); наибольшего значения у функции нет.