Страница 42 номер 143, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень

Функция \(f(x)\). Ось симметрии параболы — прямая \(x = 3\), поэтому абсцисса вершины равна 3. Множество значений — промежуток \((-\infty; 4]\), поэтому ветви параболы направлены вниз (\(a < 0\)), а ордината вершины равна наибольшему значению функции, то есть 4. Значит, вершина параболы — точка \((3; 4)\) и \(f(x) = a(x - 3)^2 + 4\). График проходит через точку \((0; -5)\): \[\begin{aligned} a \cdot (0 - 3)^2 + 4 &= -5; \\ 9a &= -5 - 4; \\ 9a &= -9; \qquad | : 9 \\ a &= -1. \end{aligned}\] Следовательно, \[f(x) = -(x - 3)^2 + 4 = -(x^2 - 6x + 9) + 4 = -x^2 + 6x - 5.\] Нули функции — корни уравнения \(-x^2 + 6x - 5 = 0\); умножим обе его части на \(-1\): \[\begin{aligned} -x^2 + 6x - 5 &= 0; \qquad | \cdot (-1) \\ x^2 - 6x + 5 &= 0; \\ D &= (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 36 - 20 = 16; \\ x_1 &= \frac{6 - \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{6 - 4}{2} = 1; \\ x_2 &= \frac{6 + \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{6 + 4}{2} = 5. \end{aligned}\] Заполним остальные клетки для функции \(f(x)\).
• Квадратичная функция определена при любом \(x\): \(D(f) = (-\infty; +\infty)\).
• Парабола пересекает ось абсцисс в точках \((1; 0)\) и \((5; 0)\); середина отрезка \([1; 5]\) — число 3, как и должно быть.
• Коэффициент \(a = -1\) отрицателен, поэтому \(f(x) > 0\) при \(x \in (1; 5)\) и \(f(x) < 0\) при \(x \in (-\infty; 1) \cup (5; +\infty)\).
• Функция возрастает на промежутке \((-\infty; 3]\) и убывает на промежутке \([3; +\infty)\).
• Наибольшее значение функции равно 4, оно достигается при \(x = 3\); наименьшего значения у функции нет.

Функция \(g(x)\). Парабола пересекает ось абсцисс в точках \((-6; 0)\) и \((4; 0)\), значит, нули функции — числа \(-6\) и 4, и квадратный трёхчлен раскладывается на множители: \(g(x) = a(x + 6)(x - 4)\). График проходит через точку \((0; 24)\): \[\begin{aligned} a \cdot (0 + 6) \cdot (0 - 4) &= 24; \\ -24a &= 24; \qquad | : (-24) \\ a &= -1. \end{aligned}\] Следовательно, \[g(x) = -(x + 6)(x - 4) = -(x^2 + 2x - 24) = -x^2 - 2x + 24.\] Заполним остальные клетки для функции \(g(x)\).
• Квадратичная функция определена при любом \(x\): \(D(g) = (-\infty; +\infty)\).
• Ось симметрии проходит посередине между точками пересечения параболы с осью абсцисс. Середина отрезка \([-6; 4]\) — число \(-1\), поэтому ось симметрии — прямая \(x = -1\).
• Ордината вершины \(g(-1) = -(-1 + 6) \cdot (-1 - 4) = -5 \cdot (-5) = 25\) совпадает с данным в таблице наибольшим значением. Коэффициент \(a = -1\) отрицателен, поэтому \(E(g) = (-\infty; 25]\), а наименьшего значения у функции нет — как и указано в таблице.
• Поскольку \(a < 0\), \(g(x) > 0\) при \(x \in (-6; 4)\) и \(g(x) < 0\) при \(x \in (-\infty; -6) \cup (4; +\infty)\).
• Функция возрастает на промежутке \((-\infty; -1]\) и убывает на промежутке \([-1; +\infty)\).

Заполненная таблица: \[\def\st{\rule[-1.1em]{0pt}{2.6em}}\begin{array}{|l|c|c|}\hline \text{Свойства функций} & f(x) & g(x) \\ \hline \text{Область определения} & (-\infty; +\infty) & (-\infty; +\infty) \\ \hline \text{Множество значений} & (-\infty; 4] & (-\infty; 25] \\ \hline \text{Ось симметрии} & x = 3 & x = -1 \\ \hline \text{Точка пересечения с осью ординат} & (0; -5) & (0; 24) \\ \hline \text{Точки пересечения с осью абсцисс} & (1; 0), (5; 0) & (-6; 0), (4; 0) \\ \hline \text{Промежутки знакопостоянства} & \begin{array}{c} > 0\text{:}\ (1; 5) \\ < 0\text{:}\ (-\infty; 1) \cup (5; +\infty) \end{array} & \begin{array}{c} > 0\text{:}\ (-6; 4) \\ < 0\text{:}\ (-\infty; -6) \cup (4; +\infty) \end{array} \st \\ \hline \text{Промежутки возрастания и убывания} & \begin{array}{c} \text{возрастает на } (-\infty; 3] \\ \text{убывает на } [3; +\infty) \end{array} & \begin{array}{c} \text{возрастает на } (-\infty; -1] \\ \text{убывает на } [-1; +\infty) \end{array} \st \\ \hline \text{Наибольшее значение} & 4 & 25 \\ \hline \text{Наименьшее значение} & \text{Не достигается} & \text{Не достигается} \\ \hline\end{array}\]

Ответ: \(f(x) = -x^2 + 6x - 5\); \(g(x) = -x^2 - 2x + 24\).