Страница 42 номер 142, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Исследуйте функцию \(y = (x - 4)(x - 2)\) и постройте её график.
Нули функции \(f(x) = (x - 4)(x - 2)\) — числа 2 и 4: парабола \(y = f(x)\) пересекает ось \(x\) в точках \((2; 0)\) и \((4; 0)\).
\((x - 4)(x - 2) = x^2 - 6x + 8\), коэффициент при \(x^2\) равен 1 — ветви параболы направлены вверх.
Ось симметрии параболы проходит посередине между точками пересечения с осью \(x\): середина отрезка \([2; 4]\) — число 3, поэтому \(x_0 = 3\).
\(y_0 = (3 - 4) \cdot (3 - 2) = -1\) — вершина параболы \((3; -1)\).
\(f(0) = (0 - 4) \cdot (0 - 2) = 8\), а точка, симметричная точке \((0; 8)\) относительно прямой \(x = 3\), — это \((6; 8)\).
• \(D(f) = (-\infty; +\infty)\).
• Коэффициент при \(x^2\) положительный, поэтому \(E(f) = [-1; +\infty)\).
• \(f(-1) = (-5) \cdot (-3) = 15\), \(f(1) = (-3) \cdot (-1) = 3\). Функция ни чётная, ни нечётная: \(f(-1) \ne f(1)\) и \(f(-1) \ne -f(1)\).
• \(f(0) = 8\) — график пересекает ось \(y\) в точке \((0; 8)\).
• Нули функции — числа 2 и 4: график пересекает ось \(x\) в точках \((2; 0)\) и \((4; 0)\).
• Коэффициент при \(x^2\) положительный, поэтому \(f(x) > 0\) при \(x \in (-\infty; 2) \cup (4; +\infty)\) и \(f(x) < 0\) при \(x \in (2; 4)\).
• Функция убывает на промежутке \((-\infty; 3]\) и возрастает на промежутке \([3; +\infty)\).
• Наименьшее значение функции равно \(-1\) (при \(x = 3\)), наибольшего значения нет.
Ответ: \(D(f) = (-\infty; +\infty)\); \(E(f) = [-1; +\infty)\); функция ни чётная, ни нечётная; пересечение с осью \(y\) — точка \((0; 8)\); нули функции — 2 и 4; \(f(x) > 0\) при \(x \in (-\infty; 2) \cup (4; +\infty)\), \(f(x) < 0\) при \(x \in (2; 4)\); функция убывает на промежутке \((-\infty; 3]\) и возрастает на промежутке \([3; +\infty)\); наименьшее значение \(-1\), наибольшего нет.
Исследуйте функцию \(y = (x - 4)(x - 2)\) и постройте её график.
Исследуем функцию \(f(x) = (x - 4)(x - 2)\). Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю, поэтому из формулы сразу видно, что нулями функции являются числа 2 и 4. Следовательно, парабола \(y = f(x)\) пересекает ось \(x\) в точках \((2; 0)\) и \((4; 0)\). Раскроем скобки: \((x - 4)(x - 2) = x^2 - 6x + 8\). Коэффициент при \(x^2\) равен 1, поэтому ветви параболы направлены вверх. Ось симметрии параболы проходит посередине между точками пересечения с осью \(x\). Середина отрезка \([2; 4]\) — число 3, поэтому \(x_0 = 3\). Найдём ординату вершины: \(y_0 = (3 - 4) \cdot (3 - 2) = -1\). Таким образом, \((3; -1)\) — вершина параболы. Кроме того, \(f(0) = (0 - 4) \cdot (0 - 2) = 8\), а точка, симметричная точке \((0; 8)\) относительно прямой \(x = 3\), — это \((6; 8)\). Построим график функции \(f(x)\).
Перечислим основные свойства согласно плану.
• \(D(f) = (-\infty; +\infty)\).
• Поскольку коэффициент при \(x^2\) положительный, \(E(f) = [-1; +\infty)\).
• \(f(-1) = (-5) \cdot (-3) = 15\), \(f(1) = (-3) \cdot (-1) = 3\). Функция не является чётной, так как \(f(-1) \ne f(1)\), и не является нечётной, так как \(f(-1) \ne -f(1)\).
• \(f(0) = 8\), поэтому график функции \(f(x)\) пересекает ось \(y\) в точке с координатами \((0; 8)\).
• Нули функции — числа 2 и 4: график пересекает ось \(x\) в точках \((2; 0)\) и \((4; 0)\).
• Поскольку коэффициент при \(x^2\) положительный, \(f(x) > 0\) при \(x \in (-\infty; 2) \cup (4; +\infty)\) и \(f(x) < 0\) при \(x \in (2; 4)\).
• Функция \(f(x)\) убывает на промежутке \((-\infty; 3]\) и возрастает на промежутке \([3; +\infty)\).
• Наименьшее значение функции \(f(x)\) равно \(-1\), оно достигается при \(x = 3\); наибольшего значения у функции нет.
Ответ: \(D(f) = (-\infty; +\infty)\); \(E(f) = [-1; +\infty)\); функция ни чётная, ни нечётная; пересечение с осью \(y\) — точка \((0; 8)\); нули функции — 2 и 4; \(f(x) > 0\) при \(x \in (-\infty; 2) \cup (4; +\infty)\), \(f(x) < 0\) при \(x \in (2; 4)\); функция убывает на промежутке \((-\infty; 3]\) и возрастает на промежутке \([3; +\infty)\); наименьшее значение \(-1\), наибольшего нет.
