Страница 41 номер 140, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень

Функция \(f(x)\). Ось симметрии параболы — прямая \(x = 10\), поэтому абсцисса вершины равна 10. Множество значений — промежуток \([10; +\infty)\), поэтому ветви параболы направлены вверх (\(a > 0\)), а ордината вершины равна наименьшему значению функции, то есть 10. Значит, вершина параболы — точка \((10; 10)\) и \(f(x) = a(x - 10)^2 + 10\). График проходит через точку \((0; 25)\): \[\begin{aligned} a \cdot (0 - 10)^2 + 10 &= 25; \\ 100a &= 25 - 10; \\ 100a &= 15; \qquad | : 100 \\ a &= 0{,}15. \end{aligned}\] Следовательно, \[\begin{aligned} &f(x) = 0{,}15(x - 10)^2 + 10 = {} \\ &= 0{,}15(x^2 - 20x + 100) + 10 = 0{,}15x^2 - 3x + 25. \end{aligned}\] Заполним остальные клетки для функции \(f(x)\).
• Квадратичная функция определена при любом \(x\): \(D(f) = (-\infty; +\infty)\).
• Наименьшее значение функции — положительное число 10, поэтому \(f(x) > 0\) при любом \(x\): нулей нет, и парабола не пересекает ось абсцисс. Это подтверждает и дискриминант: \(D = (-3)^2 - 4 \cdot 0{,}15 \cdot 25 = 9 - 15 = -6 < 0\).
• Коэффициент \(a = 0{,}15\) положителен, поэтому функция убывает на промежутке \((-\infty; 10]\) и возрастает на промежутке \([10; +\infty)\), а наибольшего значения у неё нет.

Функция \(g(x)\). Парабола пересекает ось абсцисс в точках \((-2; 0)\) и \((4; 0)\), значит, нули функции — числа \(-2\) и 4, и квадратный трёхчлен раскладывается на множители: \(g(x) = a(x + 2)(x - 4)\). График проходит через точку \((0; -4)\): \[\begin{aligned} a \cdot (0 + 2) \cdot (0 - 4) &= -4; \\ -8a &= -4; \qquad | : (-8) \\ a &= 0{,}5. \end{aligned}\] Следовательно, \[g(x) = 0{,}5(x + 2)(x - 4) = 0{,}5(x^2 - 2x - 8) = 0{,}5x^2 - x - 4.\] Заполним остальные клетки для функции \(g(x)\).
• Квадратичная функция определена при любом \(x\): \(D(g) = (-\infty; +\infty)\).
• Ось симметрии проходит посередине между точками пересечения параболы с осью абсцисс. Середина отрезка \([-2; 4]\) — число 1, поэтому ось симметрии — прямая \(x = 1\).
• Ордината вершины \(g(1) = 0{,}5 \cdot 3 \cdot (-3) = -4{,}5\) совпадает с данным в таблице наименьшим значением. Коэффициент \(a = 0{,}5\) положителен, поэтому \(E(g) = [-4{,}5; +\infty)\), а наибольшего значения у функции нет — как и указано в таблице.
• Поскольку \(a > 0\), \(g(x) > 0\) при \(x \in (-\infty; -2) \cup (4; +\infty)\) и \(g(x) < 0\) при \(x \in (-2; 4)\).
• Функция убывает на промежутке \((-\infty; 1]\) и возрастает на промежутке \([1; +\infty)\).

Заполненная таблица: \[\def\st{\rule[-1.1em]{0pt}{2.6em}}\begin{array}{|l|c|c|}\hline \text{Свойства функций} & f(x) & g(x) \\ \hline \text{Область определения} & (-\infty; +\infty) & (-\infty; +\infty) \\ \hline \text{Множество значений} & [10; +\infty) & [-4{,}5; +\infty) \\ \hline \text{Ось симметрии} & x = 10 & x = 1 \\ \hline \text{Точка пересечения с осью ординат} & (0; 25) & (0; -4) \\ \hline \text{Точки пересечения с осью абсцисс} & \text{Нет} & (-2; 0), (4; 0) \\ \hline \text{Промежутки знакопостоянства} & > 0\text{:}\ (-\infty; +\infty) & \begin{array}{c} > 0\text{:}\ (-\infty; -2) \cup (4; +\infty) \\ < 0\text{:}\ (-2; 4) \end{array} \st \\ \hline \text{Промежутки возрастания и убывания} & \begin{array}{c} \text{убывает на } (-\infty; 10] \\ \text{возрастает на } [10; +\infty) \end{array} & \begin{array}{c} \text{убывает на } (-\infty; 1] \\ \text{возрастает на } [1; +\infty) \end{array} \st \\ \hline \text{Наибольшее значение} & \text{Не достигается} & \text{Не достигается} \\ \hline \text{Наименьшее значение} & 10 & -4{,}5 \\ \hline\end{array}\]

Ответ: \(f(x) = 0{,}15x^2 - 3x + 25\); \(g(x) = 0{,}5x^2 - x - 4\).