Страница 41 номер 139, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень

Глава 1. Квадратичная функция. §7. Исследование функций. Страница 41. Номер 139

Задание / условие:

Исследуйте функцию \(y = 2x^2 + 6x + 4\) и постройте её график.

Решение:

У функции \(f(x) = 2x^2 + 6x + 4\) коэффициент при \(x^2\) положителен — ветви параболы направлены вверх.

\(x_0 = -\frac{6}{2 \cdot 2} = -1{,}5\);
\(y_0 = 2 \cdot (-1{,}5)^2 + 6 \cdot (-1{,}5) + 4 = 4{,}5 - 9 + 4 = -0{,}5\) — вершина параболы \((-1{,}5; -0{,}5)\).

Нули функции: \[\begin{aligned} 2x^2 + 6x + 4 &= 0; \qquad | : 2 \\ x^2 + 3x + 2 &= 0; \\ D &= 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 - 8 = 1; \\ x_1 &= \frac{-3 - \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 - 1}{2} = -2; \\ x_2 &= \frac{-3 + \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 + 1}{2} = -1. \end{aligned}\] Парабола пересекает ось \(y\) в точке \((0; 4)\), а симметричная ей относительно оси параболы \(x = -1{,}5\) точка — \((-3; 4)\).

график

• \(D(f) = (-\infty; +\infty)\).
• Коэффициент при \(x^2\) положительный, поэтому \(E(f) = [-0{,}5; +\infty)\).
• \(f(-1) = 2 - 6 + 4 = 0\), \(f(1) = 2 + 6 + 4 = 12\). Функция ни чётная, ни нечётная: \(f(-1) \ne f(1)\) и \(f(-1) \ne -f(1)\).
• Парабола пересекает ось \(y\) в точке \((0; 4)\).
• Нули функции — числа \(-2\) и \(-1\): парабола пересекает ось \(x\) в точках \((-2; 0)\) и \((-1; 0)\).
• Коэффициент при \(x^2\) положительный, поэтому \(f(x) > 0\) при \(x \in (-\infty; -2) \cup (-1; +\infty)\) и \(f(x) < 0\) при \(x \in (-2; -1)\).
• Функция убывает на промежутке \((-\infty; -1{,}5]\) и возрастает на промежутке \([-1{,}5; +\infty)\).
• Наименьшее значение функции равно \(-0{,}5\) (при \(x = -1{,}5\)), наибольшего значения нет.

Ответ: \(D(f) = (-\infty; +\infty)\); \(E(f) = [-0{,}5; +\infty)\); функция ни чётная, ни нечётная; пересечение с осью \(y\) — точка \((0; 4)\); нули функции — \(-2\) и \(-1\); \(f(x) > 0\) при \(x \in (-\infty; -2) \cup (-1; +\infty)\), \(f(x) < 0\) при \(x \in (-2; -1)\); функция убывает на промежутке \((-\infty; -1{,}5]\) и возрастает на промежутке \([-1{,}5; +\infty)\); наименьшее значение \(-0{,}5\), наибольшего нет.

Задание / условие:

Исследуйте функцию \(y = 2x^2 + 6x + 4\) и постройте её график.

Решение:

Исследуем функцию \(f(x) = 2x^2 + 6x + 4\). Коэффициент при \(x^2\) положителен, поэтому ветви параболы направлены вверх. Найдём координаты вершины параболы: \(x_0 = -\frac{6}{2 \cdot 2} = -1{,}5\);
\(y_0 = 2 \cdot (-1{,}5)^2 + 6 \cdot (-1{,}5) + 4 = 4{,}5 - 9 + 4 = -0{,}5\). Таким образом, \((-1{,}5; -0{,}5)\) — вершина параболы. Нули функции — корни уравнения \(2x^2 + 6x + 4 = 0\); разделим обе его части на 2: \[\begin{aligned} 2x^2 + 6x + 4 &= 0; \qquad | : 2 \\ x^2 + 3x + 2 &= 0; \\ D &= 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 - 8 = 1; \\ x_1 &= \frac{-3 - \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 - 1}{2} = -2; \\ x_2 &= \frac{-3 + \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 + 1}{2} = -1. \end{aligned}\] Абсцисса вершины \(-1{,}5\) — середина отрезка \([-2; -1]\), как и должно быть. Парабола пересекает ось \(y\) в точке \((0; 4)\), а точка, симметричная ей относительно оси параболы \(x = -1{,}5\), — это \((-3; 4)\). Построим график функции \(f(x)\).

график

Перечислим основные свойства согласно плану.
• \(D(f) = (-\infty; +\infty)\).
• Поскольку коэффициент при \(x^2\) положительный, \(E(f) = [-0{,}5; +\infty)\).
• \(f(-1) = 2 - 6 + 4 = 0\), \(f(1) = 2 + 6 + 4 = 12\). Функция не является чётной, так как \(f(-1) \ne f(1)\), и не является нечётной, так как \(f(-1) \ne -f(1)\).
• Точка с координатами \((0; 4)\) является точкой пересечения параболы с осью \(y\).
• Нули функции — числа \(-2\) и \(-1\): парабола пересекает ось \(x\) в точках \((-2; 0)\) и \((-1; 0)\).
• Поскольку коэффициент при \(x^2\) положительный, \(f(x) > 0\) при \(x \in (-\infty; -2) \cup (-1; +\infty)\) и \(f(x) < 0\) при \(x \in (-2; -1)\).
• Функция \(f(x)\) убывает на промежутке \((-\infty; -1{,}5]\) и возрастает на промежутке \([-1{,}5; +\infty)\).
• Наименьшее значение функции \(f(x)\) равно \(-0{,}5\), оно достигается при \(x = -1{,}5\); наибольшего значения у функции нет.