Страница 41 номер 137, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень

а) Исследуем функцию \(f(x) = \frac{x + 5}{x - 1}\). Выделим целую часть дроби: числитель \(x + 5 = (x - 1) + 6\), поэтому \[f(x) = \frac{(x - 1) + 6}{x - 1} = 1 + \frac{6}{x - 1}.\] Следовательно, график функции \(f(x)\) получается из гиперболы \(y = \frac{6}{x}\) сдвигом на 1 единицу вправо и на 1 единицу вверх, а его асимптоты — прямые \(x = 1\) и \(y = 1\). Коэффициент \(k = 6\) положителен, поэтому ветви гиперболы \(y = \frac{6}{x}\) расположены в I и III координатных четвертях; после сдвига правая ветвь лежит выше прямой \(y = 1\), а левая — ниже. Точки графика: \((-5; 0)\), \((-2; -1)\), \((-1; -2)\), \((0; -5)\), \((2; 7)\), \((3; 4)\), \((4; 3)\), \((7; 2)\). Построим график функции \(f(x)\), штрихом — гиперболу \(y = \frac{6}{x}\).

Перечислим основные свойства согласно плану.
• Делить на нуль нельзя, поэтому знаменатель не равен нулю: \(x - 1 \ne 0\), то есть \(x \ne 1\). Значит, \(D(f) = (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)\).
• Дробь \(\frac{6}{x - 1}\) не равна нулю ни при каком \(x\), а любое число \(t \ne 0\) она принимает при \(x = \frac{6}{t} + 1\). Поэтому функция \(f(x) = 1 + \frac{6}{x - 1}\) принимает все значения, кроме 1: \(E(f) = (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)\).
• Область определения несимметрична относительно нуля: число \(-1\) ей принадлежит, а число 1 — нет. Поэтому функция не является ни чётной, ни нечётной.
• \(f(0) = \frac{0 + 5}{0 - 1} = -5\), поэтому график пересекает ось \(y\) в точке с координатами \((0; -5)\).
• Дробь равна нулю, когда её числитель равен нулю, а знаменатель — нет: \(x + 5 = 0\) при \(x = -5\), и при этом \(-5 - 1 \ne 0\). Нуль функции — число \(-5\): график пересекает ось \(x\) в точке \((-5; 0)\).
• При \(x > 1\) числитель \(x + 5\) и знаменатель \(x - 1\) положительны, при \(x < -5\) оба отрицательны — в обоих случаях дробь положительна. При \(-5 < x < 1\) числитель положителен, а знаменатель отрицателен — дробь отрицательна. Значит, \(f(x) > 0\) при \(x \in (-\infty; -5) \cup (1; +\infty)\) и \(f(x) < 0\) при \(x \in (-5; 1)\).
• Функция \(y = \frac{6}{x}\) (\(k > 0\)) убывает на каждом из промежутков \((-\infty; 0)\) и \((0; +\infty)\). Сдвиг на 1 единицу вправо переводит эти промежутки в \((-\infty; 1)\) и \((1; +\infty)\), а сдвиг вверх характера монотонности не меняет. Поэтому функция \(f(x)\) убывает на каждом из промежутков \((-\infty; 1)\) и \((1; +\infty)\). На их объединении она не убывает: \(0 < 2\), но \(f(0) = -5\) меньше, чем \(f(2) = 7\).
• Множество значений \((-\infty; 1) \cup (1; +\infty)\) не содержит ни наибольшего, ни наименьшего числа, поэтому ни наибольшего, ни наименьшего значения у функции нет.
• Асимптоты графика функции \(f(x)\) — прямые \(x = 1\) (вертикальная) и \(y = 1\) (горизонтальная).

б) Исследуем функцию \(f(x) = x^2 + 5x - 6\). Коэффициент при \(x^2\) положителен, поэтому ветви параболы направлены вверх. Найдём координаты вершины параболы: \(x_0 = -\frac{5}{2 \cdot 1} = -2{,}5\);
\(y_0 = (-2{,}5)^2 + 5 \cdot (-2{,}5) - 6 = 6{,}25 - 12{,}5 - 6 = -12{,}25\). Таким образом, \((-2{,}5; -12{,}25)\) — вершина параболы. Нули функции — корни уравнения \(x^2 + 5x - 6 = 0\): \[\begin{aligned} D &= 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 25 + 24 = 49; \\ x_1 &= \frac{-5 - \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{-5 - 7}{2} = -6; \\ x_2 &= \frac{-5 + \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{-5 + 7}{2} = 1. \end{aligned}\] Абсцисса вершины \(-2{,}5\) — середина отрезка \([-6; 1]\), как и должно быть. Парабола пересекает ось \(y\) в точке \((0; -6)\), а точка, симметричная ей относительно оси параболы \(x = -2{,}5\), — это \((-5; -6)\). Построим график функции \(f(x)\).

Перечислим основные свойства согласно плану.
• \(D(f) = (-\infty; +\infty)\).
• Поскольку коэффициент при \(x^2\) положительный, \(E(f) = [-12{,}25; +\infty)\).
• \(f(-1) = 1 - 5 - 6 = -10\), \(f(1) = 1 + 5 - 6 = 0\). Функция не является чётной, так как \(f(-1) \ne f(1)\), и не является нечётной, так как \(f(-1) \ne -f(1)\).
• Точка с координатами \((0; -6)\) является точкой пересечения параболы с осью \(y\).
• Нули функции — числа \(-6\) и 1: парабола пересекает ось \(x\) в точках \((-6; 0)\) и \((1; 0)\).
• Поскольку коэффициент при \(x^2\) положительный, \(f(x) > 0\) при \(x \in (-\infty; -6) \cup (1; +\infty)\) и \(f(x) < 0\) при \(x \in (-6; 1)\).
• Функция \(f(x)\) убывает на промежутке \((-\infty; -2{,}5]\) и возрастает на промежутке \([-2{,}5; +\infty)\).
• Наименьшее значение функции \(f(x)\) равно \(-12{,}25\), оно достигается при \(x = -2{,}5\); наибольшего значения у функции нет.

в) Исследуем функцию \(f(x) = |x^2 + x - 6|\). Рассмотрим параболу \(y = x^2 + x - 6\). Коэффициент при \(x^2\) положителен, поэтому её ветви направлены вверх. Координаты вершины: \(x_0 = -\frac{1}{2 \cdot 1} = -0{,}5\);
\(y_0 = (-0{,}5)^2 + (-0{,}5) - 6 = 0{,}25 - 0{,}5 - 6 = -6{,}25\). Нули трёхчлена — корни уравнения \(x^2 + x - 6 = 0\): \[\begin{aligned} D &= 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25; \\ x_1 &= \frac{-1 - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 - 5}{2} = -3; \\ x_2 &= \frac{-1 + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 + 5}{2} = 2. \end{aligned}\] Коэффициент при \(x^2\) положителен, поэтому парабола лежит ниже оси \(x\) при \(-3 < x < 2\) и не ниже оси \(x\) при остальных значениях \(x\). График функции \(y = |x^2 + x - 6|\) получается отражением симметрично относительно оси абсцисс той части параболы, которая расположена в нижней полуплоскости; остальная часть параболы не меняется. При отражении вершина \((-0{,}5; -6{,}25)\) переходит в точку \((-0{,}5; 6{,}25)\). Кроме того, \(f(0) = |-6| = 6\). Построим график функции \(f(x)\), штрихом — отражаемую часть параболы.

Перечислим основные свойства согласно плану.
• \(D(f) = (-\infty; +\infty)\).
• Модуль числа неотрицателен, поэтому \(f(x) \geqslant 0\) при любом \(x\). Квадратичная функция \(y = x^2 + x - 6\) принимает все значения из промежутка \([-6{,}25; +\infty)\), в том числе любое неотрицательное число, а модуль неотрицательного числа равен самому этому числу. Значит, \(E(f) = [0; +\infty)\).
• \(f(-1) = |1 - 1 - 6| = 6\), \(f(1) = |1 + 1 - 6| = 4\). Функция не является чётной, так как \(f(-1) \ne f(1)\), и не является нечётной, так как \(f(-1) \ne -f(1)\).
• \(f(0) = 6\), поэтому график пересекает ось \(y\) в точке с координатами \((0; 6)\).
• Модуль равен нулю только тогда, когда равно нулю выражение под ним, поэтому нули функции — числа \(-3\) и 2: график пересекает ось \(x\) в точках \((-3; 0)\) и \((2; 0)\).
• Отрицательных значений функция не принимает; \(f(x) > 0\) при \(x \in (-\infty; -3) \cup (-3; 2) \cup (2; +\infty)\).
• При \(x \leqslant -3\) и при \(x \geqslant 2\) трёхчлен \(x^2 + x - 6\) неотрицателен и \(f(x)\) совпадает с ним, а квадратичная функция \(y = x^2 + x - 6\) убывает на промежутке \((-\infty; -0{,}5]\) и возрастает на промежутке \([-0{,}5; +\infty)\). Поэтому \(f(x)\) убывает на промежутке \((-\infty; -3]\) и возрастает на промежутке \([2; +\infty)\). На отрезке \([-3; 2]\) значения \(f(x)\) противоположны значениям трёхчлена, поэтому возрастание и убывание меняются местами: \(f(x)\) возрастает на отрезке \([-3; -0{,}5]\) и убывает на отрезке \([-0{,}5; 2]\).
• Наименьшее значение функции равно 0, оно достигается при \(x = -3\) и при \(x = 2\). Наибольшего значения нет, так как \(E(f) = [0; +\infty)\). В частности, \(f(-0{,}5) = 6{,}25\) — не наибольшее значение: например, \(f(4) = |16 + 4 - 6| = 14\).

Ответ: а) \(D(f) = (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)\); \(E(f) = (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)\); функция ни чётная, ни нечётная; пересечение с осью \(y\) — точка \((0; -5)\); нуль функции — \(-5\); \(f(x) > 0\) при \(x \in (-\infty; -5) \cup (1; +\infty)\), \(f(x) < 0\) при \(x \in (-5; 1)\); функция убывает на каждом из промежутков \((-\infty; 1)\) и \((1; +\infty)\); наибольшего и наименьшего значений нет; асимптоты — прямые \(x = 1\) и \(y = 1\); б) \(D(f) = (-\infty; +\infty)\); \(E(f) = [-12{,}25; +\infty)\); функция ни чётная, ни нечётная; пересечение с осью \(y\) — точка \((0; -6)\); нули функции — \(-6\) и 1; \(f(x) > 0\) при \(x \in (-\infty; -6) \cup (1; +\infty)\), \(f(x) < 0\) при \(x \in (-6; 1)\); функция убывает на промежутке \((-\infty; -2{,}5]\) и возрастает на промежутке \([-2{,}5; +\infty)\); наименьшее значение \(-12{,}25\), наибольшего нет; в) \(D(f) = (-\infty; +\infty)\); \(E(f) = [0; +\infty)\); функция ни чётная, ни нечётная; пересечение с осью \(y\) — точка \((0; 6)\); нули функции — \(-3\) и 2; отрицательных значений нет, \(f(x) > 0\) при \(x \in (-\infty; -3) \cup (-3; 2) \cup (2; +\infty)\); функция убывает на промежутках \((-\infty; -3]\) и \([-0{,}5; 2]\) и возрастает на промежутках \([-3; -0{,}5]\) и \([2; +\infty)\); наименьшее значение 0, наибольшего нет.