Страница 41 номер 136, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень

Глава 1. Квадратичная функция. §7. Исследование функций. Страница 41. Номер 136

Задание / условие:

Исследуйте функцию по плану и постройте её график: а) \(y = \frac{x - 2}{x + 2}\); б) \(y = x^2 + 3x - 4\); в) \(y = |2x^2 - 6x - 8|\).

Решение:

а) Числитель \(x - 2 = (x + 2) - 4\), поэтому \[f(x) = \frac{(x + 2) - 4}{x + 2} = 1 - \frac{4}{x + 2}.\] График функции \(f(x)\) — гипербола \(y = -\frac{4}{x}\), сдвинутая на 2 единицы влево и на 1 единицу вверх; асимптоты — прямые \(x = -2\) и \(y = 1\).

Коэффициент \(k = -4\) отрицателен, поэтому ветви гиперболы \(y = -\frac{4}{x}\) лежат во II и IV координатных четвертях; после сдвига левая ветвь лежит выше прямой \(y = 1\), а правая — ниже.

Точки графика: \((-6; 2)\), \((-4; 3)\), \((-3; 5)\), \((-1; -3)\), \((0; -1)\), \((2; 0)\).

график

• Знаменатель \(x + 2 \ne 0\), то есть \(x \ne -2\), поэтому \(D(f) = (-\infty; -2) \cup (-2; +\infty)\).
• Дробь \(\frac{4}{x + 2}\) не равна нулю ни при каком \(x\), а любое число \(t \ne 0\) она принимает при \(x = \frac{4}{t} - 2\), поэтому функция \(f(x) = 1 - \frac{4}{x + 2}\) принимает все значения, кроме 1: \(E(f) = (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)\).
• Область определения несимметрична относительно нуля: число 2 ей принадлежит, а число \(-2\) — нет, поэтому функция ни чётная, ни нечётная.
• \(f(0) = \frac{0 - 2}{0 + 2} = -1\) — график пересекает ось \(y\) в точке \((0; -1)\).
• Числитель \(x - 2 = 0\) при \(x = 2\), а знаменатель \(2 + 2 \ne 0\), поэтому нуль функции — число 2: график пересекает ось \(x\) в точке \((2; 0)\).
• При \(x > 2\) числитель \(x - 2\) и знаменатель \(x + 2\) положительны, при \(x < -2\) оба отрицательны — дробь положительна; при \(-2 < x < 2\) числитель отрицателен, а знаменатель положителен — дробь отрицательна. Значит, \(f(x) > 0\) при \(x \in (-\infty; -2) \cup (2; +\infty)\) и \(f(x) < 0\) при \(x \in (-2; 2)\).
• Функция \(y = -\frac{4}{x}\) (\(k < 0\)) возрастает на каждом из промежутков \((-\infty; 0)\) и \((0; +\infty)\), сдвиг на 2 единицы влево переводит их в \((-\infty; -2)\) и \((-2; +\infty)\), а сдвиг вверх монотонности не меняет. Поэтому \(f(x)\) возрастает на каждом из промежутков \((-\infty; -2)\) и \((-2; +\infty)\). На их объединении она не возрастает: \(-3 < 0\), но \(f(-3) = 5\) больше, чем \(f(0) = -1\).
• Множество значений \((-\infty; 1) \cup (1; +\infty)\) не содержит ни наибольшего, ни наименьшего числа, поэтому ни наибольшего, ни наименьшего значения у функции нет.
• Асимптоты графика — прямые \(x = -2\) (вертикальная) и \(y = 1\) (горизонтальная).

б) У функции \(f(x) = x^2 + 3x - 4\) коэффициент при \(x^2\) положителен — ветви параболы направлены вверх.

\(x_0 = -\frac{3}{2 \cdot 1} = -1{,}5\);
\(y_0 = (-1{,}5)^2 + 3 \cdot (-1{,}5) - 4 = 2{,}25 - 4{,}5 - 4 = -6{,}25\) — вершина параболы \((-1{,}5; -6{,}25)\).

Нули функции — корни уравнения \(x^2 + 3x - 4 = 0\): \[\begin{aligned} D &= 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25; \\ x_1 &= \frac{-3 - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 - 5}{2} = -4; \\ x_2 &= \frac{-3 + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 + 5}{2} = 1. \end{aligned}\] Парабола пересекает ось \(y\) в точке \((0; -4)\), а симметричная ей относительно оси параболы \(x = -1{,}5\) точка — \((-3; -4)\).

график

• \(D(f) = (-\infty; +\infty)\).
• Коэффициент при \(x^2\) положительный, поэтому \(E(f) = [-6{,}25; +\infty)\).
• \(f(-1) = 1 - 3 - 4 = -6\), \(f(1) = 1 + 3 - 4 = 0\). Функция ни чётная, ни нечётная: \(f(-1) \ne f(1)\) и \(f(-1) \ne -f(1)\).
• Парабола пересекает ось \(y\) в точке \((0; -4)\).
• Нули функции — числа \(-4\) и 1: парабола пересекает ось \(x\) в точках \((-4; 0)\) и \((1; 0)\).
• Коэффициент при \(x^2\) положительный, поэтому \(f(x) > 0\) при \(x \in (-\infty; -4) \cup (1; +\infty)\) и \(f(x) < 0\) при \(x \in (-4; 1)\).
• Функция убывает на промежутке \((-\infty; -1{,}5]\) и возрастает на промежутке \([-1{,}5; +\infty)\).
• Наименьшее значение функции равно \(-6{,}25\) (при \(x = -1{,}5\)), наибольшего значения нет.

в) У параболы \(y = 2x^2 - 6x - 8\) коэффициент при \(x^2\) положителен — ветви направлены вверх.

\(x_0 = -\frac{-6}{2 \cdot 2} = 1{,}5\);
\(y_0 = 2 \cdot 1{,}5^2 - 6 \cdot 1{,}5 - 8 = 4{,}5 - 9 - 8 = -12{,}5\) — вершина параболы \((1{,}5; -12{,}5)\).

Нули трёхчлена: \[\begin{aligned} 2x^2 - 6x - 8 &= 0; \qquad | : 2 \\ x^2 - 3x - 4 &= 0; \\ D &= (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25; \\ x_1 &= \frac{3 - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{3 - 5}{2} = -1; \\ x_2 &= \frac{3 + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{3 + 5}{2} = 4. \end{aligned}\] Парабола лежит ниже оси \(x\) при \(-1 < x < 4\) и не ниже оси \(x\) при остальных значениях \(x\).

График функции \(f(x) = |2x^2 - 6x - 8|\) получается отражением части параболы из нижней полуплоскости симметрично относительно оси абсцисс, остальная часть параболы не меняется; вершина \((1{,}5; -12{,}5)\) переходит в точку \((1{,}5; 12{,}5)\).

\(f(0) = |-8| = 8\).

график

• \(D(f) = (-\infty; +\infty)\).
• Модуль неотрицателен: \(f(x) \geqslant 0\) при любом \(x\). Трёхчлен \(2x^2 - 6x - 8\) принимает все значения из промежутка \([-12{,}5; +\infty)\), в том числе любое неотрицательное число, поэтому \(E(f) = [0; +\infty)\).
• \(f(-1) = |2 + 6 - 8| = 0\), \(f(1) = |2 - 6 - 8| = 12\). Функция ни чётная, ни нечётная: \(f(-1) \ne f(1)\) и \(f(-1) \ne -f(1)\).
• \(f(0) = 8\) — график пересекает ось \(y\) в точке \((0; 8)\).
• Нули функции — нули трёхчлена, числа \(-1\) и 4: график пересекает ось \(x\) в точках \((-1; 0)\) и \((4; 0)\).
• Отрицательных значений функция не принимает; \(f(x) > 0\) при \(x \in (-\infty; -1) \cup (-1; 4) \cup (4; +\infty)\).
• При \(x \leqslant -1\) и при \(x \geqslant 4\) функция \(f(x)\) совпадает с трёхчленом \(2x^2 - 6x - 8\), который убывает на промежутке \((-\infty; 1{,}5]\) и возрастает на промежутке \([1{,}5; +\infty)\), поэтому \(f(x)\) убывает на промежутке \((-\infty; -1]\) и возрастает на промежутке \([4; +\infty)\). На отрезке \([-1; 4]\) значения \(f(x)\) противоположны значениям трёхчлена, поэтому \(f(x)\) возрастает на отрезке \([-1; 1{,}5]\) и убывает на отрезке \([1{,}5; 4]\).
• Наименьшее значение функции равно 0 (при \(x = -1\) и при \(x = 4\)). Наибольшего значения нет, так как \(E(f) = [0; +\infty)\). В частности, \(f(1{,}5) = 12{,}5\) — не наибольшее значение: например, \(f(-3) = |18 + 18 - 8| = 28\).

Ответ: а) \(D(f) = (-\infty; -2) \cup (-2; +\infty)\); \(E(f) = (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)\); функция ни чётная, ни нечётная; пересечение с осью \(y\) — точка \((0; -1)\); нуль функции — 2; \(f(x) > 0\) при \(x \in (-\infty; -2) \cup (2; +\infty)\), \(f(x) < 0\) при \(x \in (-2; 2)\); функция возрастает на каждом из промежутков \((-\infty; -2)\) и \((-2; +\infty)\); наибольшего и наименьшего значений нет; асимптоты — прямые \(x = -2\) и \(y = 1\); б) \(D(f) = (-\infty; +\infty)\); \(E(f) = [-6{,}25; +\infty)\); функция ни чётная, ни нечётная; пересечение с осью \(y\) — точка \((0; -4)\); нули функции — \(-4\) и 1; \(f(x) > 0\) при \(x \in (-\infty; -4) \cup (1; +\infty)\), \(f(x) < 0\) при \(x \in (-4; 1)\); функция убывает на промежутке \((-\infty; -1{,}5]\) и возрастает на промежутке \([-1{,}5; +\infty)\); наименьшее значение \(-6{,}25\), наибольшего нет; в) \(D(f) = (-\infty; +\infty)\); \(E(f) = [0; +\infty)\); функция ни чётная, ни нечётная; пересечение с осью \(y\) — точка \((0; 8)\); нули функции — \(-1\) и 4; отрицательных значений нет, \(f(x) > 0\) при \(x \in (-\infty; -1) \cup (-1; 4) \cup (4; +\infty)\); функция убывает на промежутках \((-\infty; -1]\) и \([1{,}5; 4]\) и возрастает на промежутках \([-1; 1{,}5]\) и \([4; +\infty)\); наименьшее значение 0, наибольшего нет.

Задание / условие:

Исследуйте функцию по плану и постройте её график: а) \(y = \frac{x - 2}{x + 2}\); б) \(y = x^2 + 3x - 4\); в) \(y = |2x^2 - 6x - 8|\).

Решение:

а) Исследуем функцию \(f(x) = \frac{x - 2}{x + 2}\). Выделим целую часть дроби: числитель \(x - 2 = (x + 2) - 4\), поэтому \[f(x) = \frac{(x + 2) - 4}{x + 2} = 1 - \frac{4}{x + 2}.\] Следовательно, график функции \(f(x)\) получается из гиперболы \(y = -\frac{4}{x}\) сдвигом на 2 единицы влево и на 1 единицу вверх, а его асимптоты — прямые \(x = -2\) и \(y = 1\). Коэффициент \(k = -4\) отрицателен, поэтому ветви гиперболы \(y = -\frac{4}{x}\) расположены во II и IV координатных четвертях; после сдвига левая ветвь лежит выше прямой \(y = 1\), а правая — ниже. Точки графика: \((-6; 2)\), \((-4; 3)\), \((-3; 5)\), \((-1; -3)\), \((0; -1)\), \((2; 0)\). Построим график функции \(f(x)\), штрихом — гиперболу \(y = -\frac{4}{x}\).

график

Перечислим основные свойства согласно плану.
• Делить на нуль нельзя, поэтому знаменатель не равен нулю: \(x + 2 \ne 0\), то есть \(x \ne -2\). Значит, \(D(f) = (-\infty; -2) \cup (-2; +\infty)\).
• Дробь \(\frac{4}{x + 2}\) не равна нулю ни при каком \(x\), а любое число \(t \ne 0\) она принимает при \(x = \frac{4}{t} - 2\). Поэтому функция \(f(x) = 1 - \frac{4}{x + 2}\) принимает все значения, кроме 1: \(E(f) = (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)\).
• Область определения несимметрична относительно нуля: число 2 ей принадлежит, а число \(-2\) — нет. Поэтому функция не является ни чётной, ни нечётной.
• \(f(0) = \frac{0 - 2}{0 + 2} = -1\), поэтому график пересекает ось \(y\) в точке с координатами \((0; -1)\).
• Дробь равна нулю, когда её числитель равен нулю, а знаменатель — нет: \(x - 2 = 0\) при \(x = 2\), и при этом \(2 + 2 \ne 0\). Нуль функции — число 2: график пересекает ось \(x\) в точке \((2; 0)\).
• При \(x > 2\) числитель \(x - 2\) и знаменатель \(x + 2\) положительны, при \(x < -2\) оба отрицательны — в обоих случаях дробь положительна. При \(-2 < x < 2\) числитель отрицателен, а знаменатель положителен — дробь отрицательна. Значит, \(f(x) > 0\) при \(x \in (-\infty; -2) \cup (2; +\infty)\) и \(f(x) < 0\) при \(x \in (-2; 2)\).
• Функция \(y = -\frac{4}{x}\) (\(k < 0\)) возрастает на каждом из промежутков \((-\infty; 0)\) и \((0; +\infty)\). Сдвиг на 2 единицы влево переводит эти промежутки в \((-\infty; -2)\) и \((-2; +\infty)\), а сдвиг вверх характера монотонности не меняет. Поэтому функция \(f(x)\) возрастает на каждом из промежутков \((-\infty; -2)\) и \((-2; +\infty)\). На их объединении она не возрастает: \(-3 < 0\), но \(f(-3) = 5\) больше, чем \(f(0) = -1\).
• Множество значений \((-\infty; 1) \cup (1; +\infty)\) не содержит ни наибольшего, ни наименьшего числа, поэтому ни наибольшего, ни наименьшего значения у функции нет.
• Асимптоты графика функции \(f(x)\) — прямые \(x = -2\) (вертикальная) и \(y = 1\) (горизонтальная).

б) Исследуем функцию \(f(x) = x^2 + 3x - 4\). Коэффициент при \(x^2\) положителен, поэтому ветви параболы направлены вверх. Найдём координаты вершины параболы: \(x_0 = -\frac{3}{2 \cdot 1} = -1{,}5\);
\(y_0 = (-1{,}5)^2 + 3 \cdot (-1{,}5) - 4 = 2{,}25 - 4{,}5 - 4 = -6{,}25\). Таким образом, \((-1{,}5; -6{,}25)\) — вершина параболы. Нули функции — корни уравнения \(x^2 + 3x - 4 = 0\): \[\begin{aligned} D &= 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25; \\ x_1 &= \frac{-3 - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 - 5}{2} = -4; \\ x_2 &= \frac{-3 + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 + 5}{2} = 1. \end{aligned}\] Абсцисса вершины \(-1{,}5\) — середина отрезка \([-4; 1]\), как и должно быть. Парабола пересекает ось \(y\) в точке \((0; -4)\), а точка, симметричная ей относительно оси параболы \(x = -1{,}5\), — это \((-3; -4)\). Построим график функции \(f(x)\).

график

Перечислим основные свойства согласно плану.
• \(D(f) = (-\infty; +\infty)\).
• Поскольку коэффициент при \(x^2\) положительный, \(E(f) = [-6{,}25; +\infty)\).
• \(f(-1) = 1 - 3 - 4 = -6\), \(f(1) = 1 + 3 - 4 = 0\). Функция не является чётной, так как \(f(-1) \ne f(1)\), и не является нечётной, так как \(f(-1) \ne -f(1)\).
• Точка с координатами \((0; -4)\) является точкой пересечения параболы с осью \(y\).
• Нули функции — числа \(-4\) и 1: парабола пересекает ось \(x\) в точках \((-4; 0)\) и \((1; 0)\).
• Поскольку коэффициент при \(x^2\) положительный, \(f(x) > 0\) при \(x \in (-\infty; -4) \cup (1; +\infty)\) и \(f(x) < 0\) при \(x \in (-4; 1)\).
• Функция \(f(x)\) убывает на промежутке \((-\infty; -1{,}5]\) и возрастает на промежутке \([-1{,}5; +\infty)\).
• Наименьшее значение функции \(f(x)\) равно \(-6{,}25\), оно достигается при \(x = -1{,}5\); наибольшего значения у функции нет.

в) Исследуем функцию \(f(x) = |2x^2 - 6x - 8|\). Рассмотрим параболу \(y = 2x^2 - 6x - 8\). Коэффициент при \(x^2\) положителен, поэтому её ветви направлены вверх. Координаты вершины: \(x_0 = -\frac{-6}{2 \cdot 2} = 1{,}5\);
\(y_0 = 2 \cdot 1{,}5^2 - 6 \cdot 1{,}5 - 8 = 4{,}5 - 9 - 8 = -12{,}5\). Нули трёхчлена — корни уравнения \(2x^2 - 6x - 8 = 0\); разделим обе его части на 2: \[\begin{aligned} 2x^2 - 6x - 8 &= 0; \qquad | : 2 \\ x^2 - 3x - 4 &= 0; \\ D &= (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25; \\ x_1 &= \frac{3 - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{3 - 5}{2} = -1; \\ x_2 &= \frac{3 + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{3 + 5}{2} = 4. \end{aligned}\] Коэффициент при \(x^2\) положителен, поэтому парабола лежит ниже оси \(x\) при \(-1 < x < 4\) и не ниже оси \(x\) при остальных значениях \(x\). График функции \(y = |2x^2 - 6x - 8|\) получается отражением симметрично относительно оси абсцисс той части параболы, которая расположена в нижней полуплоскости; остальная часть параболы не меняется. При отражении вершина \((1{,}5; -12{,}5)\) переходит в точку \((1{,}5; 12{,}5)\). Кроме того, \(f(0) = |-8| = 8\). Построим график функции \(f(x)\), штрихом — отражаемую часть параболы.

график

Перечислим основные свойства согласно плану.
• \(D(f) = (-\infty; +\infty)\).
• Модуль числа неотрицателен, поэтому \(f(x) \geqslant 0\) при любом \(x\). Квадратичная функция \(y = 2x^2 - 6x - 8\) принимает все значения из промежутка \([-12{,}5; +\infty)\), в том числе любое неотрицательное число, а модуль неотрицательного числа равен самому этому числу. Значит, \(E(f) = [0; +\infty)\).
• \(f(-1) = |2 + 6 - 8| = 0\), \(f(1) = |2 - 6 - 8| = 12\). Функция не является чётной, так как \(f(-1) \ne f(1)\), и не является нечётной, так как \(f(-1) \ne -f(1)\).
• \(f(0) = 8\), поэтому график пересекает ось \(y\) в точке с координатами \((0; 8)\).
• Модуль равен нулю только тогда, когда равно нулю выражение под ним, поэтому нули функции — числа \(-1\) и 4: график пересекает ось \(x\) в точках \((-1; 0)\) и \((4; 0)\).
• Отрицательных значений функция не принимает; \(f(x) > 0\) при \(x \in (-\infty; -1) \cup (-1; 4) \cup (4; +\infty)\).
• При \(x \leqslant -1\) и при \(x \geqslant 4\) трёхчлен \(2x^2 - 6x - 8\) неотрицателен и \(f(x)\) совпадает с ним, а квадратичная функция \(y = 2x^2 - 6x - 8\) убывает на промежутке \((-\infty; 1{,}5]\) и возрастает на промежутке \([1{,}5; +\infty)\). Поэтому \(f(x)\) убывает на промежутке \((-\infty; -1]\) и возрастает на промежутке \([4; +\infty)\). На отрезке \([-1; 4]\) значения \(f(x)\) противоположны значениям трёхчлена, поэтому возрастание и убывание меняются местами: \(f(x)\) возрастает на отрезке \([-1; 1{,}5]\) и убывает на отрезке \([1{,}5; 4]\).
• Наименьшее значение функции равно 0, оно достигается при \(x = -1\) и при \(x = 4\). Наибольшего значения нет, так как \(E(f) = [0; +\infty)\). В частности, \(f(1{,}5) = 12{,}5\) — не наибольшее значение: например, \(f(-3) = |18 + 18 - 8| = 28\).