Страница 36 номер 135, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Дано:
\(v_1 = 11\) км/ч — скорость первого велосипедиста
\(v_2 = 10\) км/ч — скорость второго, он выехал через 1 ч после первого
третий выехал через 1 ч после второго
от встречи третьего со вторым до встречи с первым — 4 ч 50 мин
Найти: \(v\) — скорость третьего велосипедиста.
Решение:
Пусть скорость третьего велосипедиста равна \(v\) км/ч. Он догнал первого, поэтому \(v > 11\).
\(10 \cdot 1 = 10\) (км) — проехал второй к моменту выезда третьего.
\(11 \cdot 2 = 22\) (км) — проехал к этому моменту первый: он выехал на 2 ч раньше третьего.
Каждый час третий приближается ко второму на \((v - 10)\) км, а к первому — на \((v - 11)\) км, поэтому второго он догнал через \(\frac{10}{v - 10}\) ч после выезда, а первого — через \(\frac{22}{v - 11}\) ч.
\(4\frac{50}{60} = 4\frac{5}{6} = \frac{29}{6}\) (ч) — на столько вторая встреча произошла позже первой.
Так как \(v > 11\), числа \(v - 11\) и \(v - 10\) положительны, поэтому \(6(v - 11)(v - 10)\) — положительное число. \[\begin{aligned} \frac{22}{v - 11} - \frac{10}{v - 10} &= \frac{29}{6}; \qquad | \cdot 6(v - 11)(v - 10) \\ 132(v - 10) - 60(v - 11) &= 29(v - 11)(v - 10); \\ 132v - 1320 - 60v + 660 &= 29(v^2 - 21v + 110); \\ 72v - 660 &= 29v^2 - 609v + 3190; \\ 29v^2 - 681v + 3850 &= 0; \\ D &= (-681)^2 - 4 \cdot 29 \cdot 3850 = 463\,761 - 446\,600 = 17\,161. \end{aligned}\] \(\sqrt{17\,161} = 131\), так как \(131^2 = 17\,161\). \[\begin{aligned} v' &= \frac{681 - \sqrt{17\,161}}{2 \cdot 29} = \frac{681 - 131}{58} = \frac{550}{58} = \frac{275}{29}; \\ v'' &= \frac{681 + \sqrt{17\,161}}{2 \cdot 29} = \frac{681 + 131}{58} = \frac{812}{58} = 14. \end{aligned}\] Корень \(\frac{275}{29}\) не подходит: \(\frac{275}{29} < \frac{319}{29} = 11\), а \(v > 11\). Значит, \(v = 14\) км/ч.
Проверка: \(\frac{10}{14 - 10} = 2{,}5\) (ч) — через столько после выезда третий догнал второго.
\(\frac{22}{14 - 11} = \frac{22}{3} = 7\frac{1}{3}\) (ч) — через столько после выезда он догнал первого.
\(7\frac{1}{3} - 2\frac{1}{2} = 7\frac{2}{6} - 2\frac{3}{6} = 4\frac{5}{6}\) (ч) — прошло между встречами, это 4 ч 50 мин, как и сказано в условии.
Ответ: 14 км/ч.
Дано:
\(v_1 = 11\) км/ч — скорость первого велосипедиста
\(v_2 = 10\) км/ч — скорость второго, он выехал через 1 ч после первого
третий выехал через 1 ч после второго
от встречи третьего со вторым до встречи с первым — 4 ч 50 мин
Найти: \(v\) — скорость третьего велосипедиста.
Решение:
Пусть скорость третьего велосипедиста равна \(v\) км/ч. Он догнал первого, который едет со скоростью 11 км/ч, поэтому \(v > 11\).
Третий выехал через 1 ч после второго и через 2 ч после первого. К моменту его выезда второй проехал \(10 \cdot 1 = 10\) (км), а первый — \(11 \cdot 2 = 22\) (км). Каждый час третий приближается ко второму на \((v - 10)\) км, а к первому — на \((v - 11)\) км. Поэтому второго он догнал через \(\frac{10}{v - 10}\) ч после выезда, а первого — через \(\frac{22}{v - 11}\) ч.
Вторая встреча произошла на 4 ч 50 мин позже первой, а 4 ч 50 мин — это \(4\frac{50}{60} = 4\frac{5}{6} = \frac{29}{6}\) (ч). Так как \(v > 11\), числа \(v - 11\) и \(v - 10\) положительны, поэтому \(6(v - 11)(v - 10)\) — положительное число. Составим уравнение, умножим обе его части на положительное число \(6(v - 11)(v - 10)\), раскроем скобки, приведём подобные слагаемые и перенесём все слагаемые в правую часть: \[\begin{aligned} \frac{22}{v - 11} - \frac{10}{v - 10} &= \frac{29}{6}; \qquad | \cdot 6(v - 11)(v - 10) \\ 132(v - 10) - 60(v - 11) &= 29(v - 11)(v - 10); \\ 132v - 1320 - 60v + 660 &= 29(v^2 - 21v + 110); \\ 72v - 660 &= 29v^2 - 609v + 3190; \\ 29v^2 - 681v + 3850 &= 0; \\ D &= (-681)^2 - 4 \cdot 29 \cdot 3850 = 463\,761 - 446\,600 = 17\,161. \end{aligned}\] Дискриминант положителен, \(\sqrt{17\,161} = 131\), так как \(131^2 = 17\,161\). Уравнение имеет два корня: \[\begin{aligned} v' &= \frac{681 - \sqrt{17\,161}}{2 \cdot 29} = \frac{681 - 131}{58} = \frac{550}{58} = \frac{275}{29}; \\ v'' &= \frac{681 + \sqrt{17\,161}}{2 \cdot 29} = \frac{681 + 131}{58} = \frac{812}{58} = 14. \end{aligned}\] Корень \(\frac{275}{29}\) не подходит по смыслу задачи: \(\frac{275}{29} < \frac{319}{29} = 11\), а скорость третьего велосипедиста больше 11 км/ч. Значит, \(v = 14\) км/ч.
Проверка: при \(v = 14\) третий велосипедист догнал второго через \(\frac{10}{14 - 10} = 2{,}5\) (ч), а первого — через \(\frac{22}{14 - 11} = \frac{22}{3} = 7\frac{1}{3}\) (ч) после выезда. Между встречами прошло \(7\frac{1}{3} - 2\frac{1}{2} = 7\frac{2}{6} - 2\frac{3}{6} = 4\frac{5}{6}\) (ч), то есть 4 ч 50 мин, как и сказано в условии.
Ответ: 14 км/ч.
