Страница 36 номер 129, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Постройте график функции: а) \(y = \frac{1}{x - 2}\); б) \(y = -\frac{2}{x} + 2\); в) \(y = \frac{1}{x + 6} + 2\).
а) График получается сдвигом гиперболы \(y = \frac{1}{x}\) на 2 единицы вправо.
Асимптоты: вертикальная \(x = 2\), горизонтальная \(y = 0\) (ось \(x\)).
Коэффициент \(k = 1\) положителен, поэтому одна ветвь графика лежит правее и выше точки \((2; 0)\) пересечения асимптот, другая — левее и ниже её.
Точки \((1; 1)\) и \((-1; -1)\) гиперболы \(y = \frac{1}{x}\) переходят в точки \((3; 1)\) и \((1; -1)\).
При \(x = 0\) получаем \(y = \frac{1}{0 - 2} = -0{,}5\) — график пересекает ось \(y\) в точке \((0; -0{,}5)\).
Ось \(x\) график не пересекает: дробь \(\frac{1}{x - 2}\) с числителем 1 не равна нулю ни при каком \(x\).
б) График получается сдвигом гиперболы \(y = -\frac{2}{x}\) на 2 единицы вверх.
Асимптоты: горизонтальная \(y = 2\), вертикальная \(x = 0\) (ось \(y\)).
Коэффициент \(k = -2\) отрицателен, поэтому одна ветвь графика лежит левее и выше точки \((0; 2)\) пересечения асимптот, другая — правее и ниже её.
Точки \((-2; 1)\), \((-1; 2)\), \((1; -2)\) и \((2; -1)\) гиперболы \(y = -\frac{2}{x}\) переходят в точки \((-2; 3)\), \((-1; 4)\), \((1; 0)\) и \((2; 1)\).
Ось \(y\) график не пересекает: при \(x = 0\) функция не определена.
\(-\frac{2}{x} + 2 = 0\), то есть \(\frac{2}{x} = 2\) и \(x = 1\) — график пересекает ось \(x\) в точке \((1; 0)\).
в) График получается сдвигом гиперболы \(y = \frac{1}{x}\) на 6 единиц влево и на 2 единицы вверх.
Асимптоты: горизонтальная \(y = 2\), вертикальная \(x = -6\).
Коэффициент \(k = 1\) положителен, поэтому одна ветвь графика лежит правее и выше точки \((-6; 2)\) пересечения асимптот, другая — левее и ниже её.
Точки \((1; 1)\) и \((-1; -1)\) гиперболы \(y = \frac{1}{x}\) переходят в точки \((-5; 3)\) и \((-7; 1)\).
При \(x = 0\) получаем \(y = \frac{1}{0 + 6} + 2 = \frac{13}{6}\) — график пересекает ось \(y\) в точке \(\left(0; \frac{13}{6}\right)\).
\(\frac{1}{x + 6} + 2 = 0\), то есть \(\frac{1}{x + 6} = -2\), \(x + 6 = -0{,}5\) и \(x = -6{,}5\) — график пересекает ось \(x\) в точке \((-6{,}5; 0)\).
Постройте график функции: а) \(y = \frac{1}{x - 2}\); б) \(y = -\frac{2}{x} + 2\); в) \(y = \frac{1}{x + 6} + 2\).
а) График функции \(y = \frac{1}{x - 2}\) получается сдвигом гиперболы \(y = \frac{1}{x}\) вдоль оси \(x\) на 2 единицы вправо. Прямая \(x = 2\) является вертикальной асимптотой графика, а прямая \(y = 0\) (ось \(x\)) — горизонтальной. Коэффициент \(k = 1\) положителен, поэтому ветви гиперболы \(y = \frac{1}{x}\) лежат в I и III координатных четвертях, а после сдвига одна ветвь графика лежит правее и выше точки \((2; 0)\) пересечения асимптот, другая — левее и ниже её.
При сдвиге точки \((1; 1)\) и \((-1; -1)\) гиперболы \(y = \frac{1}{x}\) переходят в точки \((3; 1)\) и \((1; -1)\). При \(x = 0\) получаем \(y = \frac{1}{0 - 2} = -0{,}5\), поэтому ось \(y\) график пересекает в точке \((0; -0{,}5)\). Ось \(x\) он не пересекает: дробь \(\frac{1}{x - 2}\) с числителем 1 не равна нулю ни при каком \(x\).
б) График функции \(y = -\frac{2}{x} + 2\) получается сдвигом гиперболы \(y = -\frac{2}{x}\) на 2 единицы вверх. Прямая \(y = 2\) является горизонтальной асимптотой графика, а прямая \(x = 0\) (ось \(y\)) — вертикальной. Коэффициент \(k = -2\) отрицателен, поэтому ветви гиперболы \(y = -\frac{2}{x}\) лежат во II и IV координатных четвертях, а после сдвига одна ветвь графика лежит левее и выше точки \((0; 2)\) пересечения асимптот, другая — правее и ниже её.
При сдвиге точки \((-2; 1)\), \((-1; 2)\), \((1; -2)\) и \((2; -1)\) гиперболы \(y = -\frac{2}{x}\) переходят в точки \((-2; 3)\), \((-1; 4)\), \((1; 0)\) и \((2; 1)\). Ось \(y\) график не пересекает: при \(x = 0\) функция не определена. Ось \(x\) он пересекает в точке, где \(-\frac{2}{x} + 2 = 0\), то есть \(\frac{2}{x} = 2\) и \(x = 1\): это точка \((1; 0)\).
в) График функции \(y = \frac{1}{x + 6} + 2\) получается сдвигом гиперболы \(y = \frac{1}{x}\) на 6 единиц влево и на 2 единицы вверх. Прямая \(y = 2\) является горизонтальной асимптотой графика, а прямая \(x = -6\) — вертикальной. Коэффициент \(k = 1\) положителен, поэтому ветви гиперболы \(y = \frac{1}{x}\) лежат в I и III координатных четвертях, а после сдвига одна ветвь графика лежит правее и выше точки \((-6; 2)\) пересечения асимптот, другая — левее и ниже её.
При сдвиге точки \((1; 1)\) и \((-1; -1)\) гиперболы \(y = \frac{1}{x}\) переходят в точки \((-5; 3)\) и \((-7; 1)\). При \(x = 0\) получаем \(y = \frac{1}{0 + 6} + 2 = \frac{13}{6}\), поэтому ось \(y\) график пересекает в точке \(\left(0; \frac{13}{6}\right)\). Ось \(x\) он пересекает в точке, где \(\frac{1}{x + 6} + 2 = 0\), то есть \(\frac{1}{x + 6} = -2\), \(x + 6 = -0{,}5\) и \(x = -6{,}5\): это точка \((-6{,}5; 0)\).
