Страница 36 номер 128, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Постройте график функции: а) \(y = \frac{1}{x} + 3\); б) \(y = \frac{1}{x + 3}\); в) \(y = \frac{3}{x - 6} - 6\); г) \(y = \frac{3x - 2}{4x}\).
а) График получается сдвигом гиперболы \(y = \frac{1}{x}\) на 3 единицы вверх.
Асимптоты: горизонтальная \(y = 3\), вертикальная \(x = 0\) (ось \(y\)).
Коэффициент \(k = 1\) положителен, поэтому одна ветвь графика лежит правее и выше точки \((0; 3)\) пересечения асимптот, другая — левее и ниже её.
Точки \((1; 1)\) и \((-1; -1)\) гиперболы \(y = \frac{1}{x}\) переходят в точки \((1; 4)\) и \((-1; 2)\).
Ось \(y\) график не пересекает: при \(x = 0\) функция не определена.
\(\frac{1}{x} + 3 = 0\), то есть \(\frac{1}{x} = -3\) и \(x = -\frac{1}{3}\) — график пересекает ось \(x\) в точке \(\left(-\frac{1}{3}; 0\right)\).
б) График получается сдвигом гиперболы \(y = \frac{1}{x}\) на 3 единицы влево.
Асимптоты: вертикальная \(x = -3\), горизонтальная \(y = 0\) (ось \(x\)).
Коэффициент \(k = 1\) положителен, поэтому одна ветвь графика лежит правее и выше точки \((-3; 0)\) пересечения асимптот, другая — левее и ниже её.
Точки \((1; 1)\) и \((-1; -1)\) гиперболы \(y = \frac{1}{x}\) переходят в точки \((-2; 1)\) и \((-4; -1)\).
При \(x = 0\) получаем \(y = \frac{1}{0 + 3} = \frac{1}{3}\) — график пересекает ось \(y\) в точке \(\left(0; \frac{1}{3}\right)\).
Ось \(x\) график не пересекает: дробь \(\frac{1}{x + 3}\) с числителем 1 не равна нулю ни при каком \(x\).
в) График получается сдвигом гиперболы \(y = \frac{3}{x}\) на 6 единиц вправо и на 6 единиц вниз.
Асимптоты: горизонтальная \(y = -6\), вертикальная \(x = 6\).
Коэффициент \(k = 3\) положителен, поэтому одна ветвь графика лежит правее и выше точки \((6; -6)\) пересечения асимптот, другая — левее и ниже её.
Точки \((1; 3)\), \((3; 1)\), \((-1; -3)\) и \((-3; -1)\) гиперболы \(y = \frac{3}{x}\) переходят в точки \((7; -3)\), \((9; -5)\), \((5; -9)\) и \((3; -7)\).
При \(x = 0\) получаем \(y = \frac{3}{0 - 6} - 6 = -0{,}5 - 6 = -6{,}5\) — график пересекает ось \(y\) в точке \((0; -6{,}5)\).
\(\frac{3}{x - 6} - 6 = 0\), то есть \(\frac{3}{x - 6} = 6\), \(x - 6 = 0{,}5\) и \(x = 6{,}5\) — график пересекает ось \(x\) в точке \((6{,}5; 0)\).
г) Функция определена при \(x \ne 0\). \[\frac{3x - 2}{4x} = \frac{3x}{4x} - \frac{2}{4x} = \frac{3}{4} - \frac{1}{2x}.\] Значит, \(y = -\frac{1}{2x} + \frac{3}{4}\) — функция вида \(y = \frac{k}{x} + n\), где \(k = -\frac{1}{2}\), \(n = \frac{3}{4} = 0{,}75\).
График получается сдвигом гиперболы \(y = -\frac{1}{2x}\) на \(0{,}75\) единицы вверх.
Асимптоты: горизонтальная \(y = 0{,}75\), вертикальная \(x = 0\) (ось \(y\)).
Коэффициент \(k = -\frac{1}{2}\) отрицателен, поэтому одна ветвь графика лежит левее и выше точки \((0; 0{,}75)\) пересечения асимптот, другая — правее и ниже её.
Точки \((-2; 0{,}25)\), \((-1; 0{,}5)\), \((1; -0{,}5)\) и \((2; -0{,}25)\) гиперболы \(y = -\frac{1}{2x}\) переходят в точки \((-2; 1)\), \((-1; 1{,}25)\), \((1; 0{,}25)\) и \((2; 0{,}5)\).
Ось \(y\) график не пересекает: при \(x = 0\) функция не определена.
\(3x - 2 = 0\) при \(x = \frac{2}{3}\), и при этом \(4x \ne 0\), поэтому график пересекает ось \(x\) в точке \(\left(\frac{2}{3}; 0\right)\).
Постройте график функции: а) \(y = \frac{1}{x} + 3\); б) \(y = \frac{1}{x + 3}\); в) \(y = \frac{3}{x - 6} - 6\); г) \(y = \frac{3x - 2}{4x}\).
а) График функции \(y = \frac{1}{x} + 3\) получается сдвигом гиперболы \(y = \frac{1}{x}\) на 3 единицы вверх. Прямая \(y = 3\) является горизонтальной асимптотой графика, а прямая \(x = 0\) (ось \(y\)) — вертикальной. Коэффициент \(k = 1\) положителен, поэтому ветви гиперболы \(y = \frac{1}{x}\) лежат в I и III координатных четвертях, а после сдвига одна ветвь графика лежит правее и выше точки \((0; 3)\) пересечения асимптот, другая — левее и ниже её.
При сдвиге точки \((1; 1)\) и \((-1; -1)\) гиперболы \(y = \frac{1}{x}\) переходят в точки \((1; 4)\) и \((-1; 2)\). Ось \(y\) график не пересекает: при \(x = 0\) функция не определена. Ось \(x\) он пересекает в точке, где \(\frac{1}{x} + 3 = 0\), то есть \(\frac{1}{x} = -3\) и \(x = -\frac{1}{3}\): это точка \(\left(-\frac{1}{3}; 0\right)\).
б) График функции \(y = \frac{1}{x + 3}\) получается сдвигом гиперболы \(y = \frac{1}{x}\) вдоль оси \(x\) на 3 единицы влево. Прямая \(x = -3\) является вертикальной асимптотой графика, а прямая \(y = 0\) (ось \(x\)) — горизонтальной. Коэффициент \(k = 1\) положителен, поэтому ветви гиперболы \(y = \frac{1}{x}\) лежат в I и III координатных четвертях, а после сдвига одна ветвь графика лежит правее и выше точки \((-3; 0)\) пересечения асимптот, другая — левее и ниже её.
При сдвиге точки \((1; 1)\) и \((-1; -1)\) гиперболы \(y = \frac{1}{x}\) переходят в точки \((-2; 1)\) и \((-4; -1)\). При \(x = 0\) получаем \(y = \frac{1}{0 + 3} = \frac{1}{3}\), поэтому ось \(y\) график пересекает в точке \(\left(0; \frac{1}{3}\right)\). Ось \(x\) он не пересекает: дробь \(\frac{1}{x + 3}\) с числителем 1 не равна нулю ни при каком \(x\).
в) График функции \(y = \frac{3}{x - 6} - 6\) получается сдвигом гиперболы \(y = \frac{3}{x}\) на 6 единиц вправо и на 6 единиц вниз. Прямая \(y = -6\) является горизонтальной асимптотой графика, а прямая \(x = 6\) — вертикальной. Коэффициент \(k = 3\) положителен, поэтому ветви гиперболы \(y = \frac{3}{x}\) лежат в I и III координатных четвертях, а после сдвига одна ветвь графика лежит правее и выше точки \((6; -6)\) пересечения асимптот, другая — левее и ниже её.
При сдвиге точки \((1; 3)\), \((3; 1)\), \((-1; -3)\) и \((-3; -1)\) гиперболы \(y = \frac{3}{x}\) переходят в точки \((7; -3)\), \((9; -5)\), \((5; -9)\) и \((3; -7)\). При \(x = 0\) получаем \(y = \frac{3}{0 - 6} - 6 = -0{,}5 - 6 = -6{,}5\), поэтому ось \(y\) график пересекает в точке \((0; -6{,}5)\). Ось \(x\) он пересекает в точке, где \(\frac{3}{x - 6} - 6 = 0\), то есть \(\frac{3}{x - 6} = 6\), \(x - 6 = 0{,}5\) и \(x = 6{,}5\): это точка \((6{,}5; 0)\).
г) Функция определена при \(x \ne 0\). Выделим целую часть дроби: \[\frac{3x - 2}{4x} = \frac{3x}{4x} - \frac{2}{4x} = \frac{3}{4} - \frac{1}{2x}.\] Значит, \(y = -\frac{1}{2x} + \frac{3}{4}\) — функция вида \(y = \frac{k}{x} + n\), где \(k = -\frac{1}{2}\), \(n = \frac{3}{4} = 0{,}75\). Её график получается сдвигом гиперболы \(y = -\frac{1}{2x}\) на \(0{,}75\) единицы вверх. Прямая \(y = 0{,}75\) является горизонтальной асимптотой графика, а прямая \(x = 0\) (ось \(y\)) — вертикальной. Коэффициент \(k = -\frac{1}{2}\) отрицателен, поэтому ветви гиперболы \(y = -\frac{1}{2x}\) лежат во II и IV координатных четвертях, а после сдвига одна ветвь графика лежит левее и выше точки \((0; 0{,}75)\) пересечения асимптот, другая — правее и ниже её.
При сдвиге точки \((-2; 0{,}25)\), \((-1; 0{,}5)\), \((1; -0{,}5)\) и \((2; -0{,}25)\) гиперболы \(y = -\frac{1}{2x}\) переходят в точки \((-2; 1)\), \((-1; 1{,}25)\), \((1; 0{,}25)\) и \((2; 0{,}5)\). Ось \(y\) график не пересекает: при \(x = 0\) функция не определена. Дробь \(\frac{3x - 2}{4x}\) равна нулю, когда её числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю: \(3x - 2 = 0\) при \(x = \frac{2}{3}\), и при этом \(4x \ne 0\). Значит, ось \(x\) график пересекает в точке \(\left(\frac{2}{3}; 0\right)\).
