Страница 32 номер 127, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Первая труба пропускает на 2 литра воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает вторая труба, если резервуар объёмом 180 литров она заполняет на 1 минуту быстрее, чем первая труба?
Дано:
\(V = 180\) л — объём резервуара
первая труба пропускает на 2 л/мин меньше второй
вторая труба заполняет резервуар на 1 мин быстрее первой
Найти: сколько литров воды в минуту пропускает вторая труба.
Решение:
Пусть первая труба пропускает \(x\) л воды в минуту, тогда вторая — \((x + 2)\) л в минуту. Первая труба заполняет резервуар за \(\frac{180}{x}\) мин, вторая — за \(\frac{180}{x + 2}\) мин, то есть на 1 мин быстрее.
Число \(x\) положительно по смыслу задачи, поэтому общий знаменатель дробей \(x(x + 2)\) тоже положителен: \[\begin{aligned} \frac{180}{x} - \frac{180}{x + 2} &= 1; \qquad | \cdot x(x + 2) \\ 180(x + 2) - 180x &= x(x + 2); \\ 180x + 360 - 180x &= x^2 + 2x; \\ 360 &= x^2 + 2x; \\ x^2 + 2x - 360 &= 0; \\ D &= 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-360) = 4 + 1440 = 1444; \\ x_1 &= \frac{-2 - \sqrt{1444}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 - 38}{2} = -20; \\ x_2 &= \frac{-2 + \sqrt{1444}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 + 38}{2} = 18. \end{aligned}\] Число литров не может быть отрицательным, поэтому корень \(-20\) не подходит по смыслу задачи; значит, первая труба пропускает 18 л воды в минуту.
\(18 + 2 = 20\) (л) — пропускает за минуту вторая труба.
Проверка: первая труба заполняет резервуар за \(180 : 18 = 10\) (мин), вторая — за \(180 : 20 = 9\) (мин), на \(10 - 9 = 1\) (мин) быстрее.
Ответ: 20 л.
Первая труба пропускает на 2 литра воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает вторая труба, если резервуар объёмом 180 литров она заполняет на 1 минуту быстрее, чем первая труба?
Дано:
\(V = 180\) л — объём резервуара
первая труба пропускает на 2 л/мин меньше второй
вторая труба заполняет резервуар на 1 мин быстрее первой
Найти: сколько литров воды в минуту пропускает вторая труба.
Решение:
Пусть первая труба пропускает \(x\) л воды в минуту, тогда вторая — \((x + 2)\) л в минуту. Первая труба заполняет резервуар за \(\frac{180}{x}\) мин, вторая — за \(\frac{180}{x + 2}\) мин, то есть на 1 мин быстрее.
Составим уравнение. Число \(x\) положительно по смыслу задачи, поэтому общий знаменатель дробей \(x(x + 2)\) тоже положителен. Умножим обе части уравнения на положительное число \(x(x + 2)\), раскроем скобки и перенесём все слагаемые в одну часть: \[\begin{aligned} \frac{180}{x} - \frac{180}{x + 2} &= 1; \qquad | \cdot x(x + 2) \\ 180(x + 2) - 180x &= x(x + 2); \\ 180x + 360 - 180x &= x^2 + 2x; \\ 360 &= x^2 + 2x; \\ x^2 + 2x - 360 &= 0; \\ D &= 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-360) = 4 + 1440 = 1444. \end{aligned}\] Дискриминант положителен, поэтому уравнение имеет два корня: \[\begin{aligned} x_1 &= \frac{-2 - \sqrt{1444}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 - 38}{2} = -20; \\ x_2 &= \frac{-2 + \sqrt{1444}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 + 38}{2} = 18. \end{aligned}\] Число литров, которое труба пропускает за минуту, не может быть отрицательным, поэтому корень \(-20\) не подходит по смыслу задачи. Значит, первая труба пропускает 18 л воды в минуту, а вторая — \(18 + 2 = 20\) (л) в минуту.
Проверка: первая труба заполняет резервуар за \(180 : 18 = 10\) (мин), вторая — за \(180 : 20 = 9\) (мин), то есть на \(10 - 9 = 1\) (мин) быстрее.
Ответ: 20 л.
