Страница 32 номер 126, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень

Дано:
\(A = 216\) деталей — заказ
\(t_1 = t_2 - 3\) (ч) — время работы первого рабочего
\(p_1 = p_2 + 1\) (дет./ч) — производительность первого рабочего

Найти: \(p_1\) — производительность первого рабочего.

Решение:

Пусть \(p_2 = x\) дет./ч, тогда \(p_1 = (x + 1)\) дет./ч. Второй рабочий выполняет заказ за \(\frac{216}{x}\) ч, первый — за \(\frac{216}{x + 1}\) ч, то есть на 3 ч быстрее.

Составим уравнение. Число деталей \(x\) положительно по смыслу задачи, поэтому общий знаменатель дробей \(x(x + 1)\) тоже положителен. Умножим обе части уравнения на положительное число \(x(x + 1)\), раскроем скобки, перенесём все слагаемые в одну часть и разделим обе части на 3: \[\begin{aligned} \frac{216}{x} - \frac{216}{x + 1} &= 3; \qquad | \cdot x(x + 1) \\ 216(x + 1) - 216x &= 3x(x + 1); \\ 216x + 216 - 216x &= 3x^2 + 3x; \\ 216 &= 3x^2 + 3x; \\ 3x^2 + 3x - 216 &= 0; \qquad | : 3 \\ x^2 + x - 72 &= 0; \\ D &= 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-72) = 1 + 288 = 289. \end{aligned}\] Дискриминант положителен, поэтому уравнение имеет два корня: \[\begin{aligned} x_1 &= \frac{-1 - \sqrt{289}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 - 17}{2} = -9; \\ x_2 &= \frac{-1 + \sqrt{289}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 + 17}{2} = 8. \end{aligned}\] Число деталей не может быть отрицательным, поэтому корень \(-9\) не подходит по смыслу задачи. Значит, \(p_2 = 8\) дет./ч, а \(p_1 = 8 + 1 = 9\) (дет./ч) — первый рабочий изготавливает за час 9 деталей.

Проверка: второй рабочий выполняет заказ за \(216 : 8 = 27\) (ч), первый — за \(216 : 9 = 24\) (ч), то есть на \(27 - 24 = 3\) (ч) быстрее.

Ответ: 9 деталей.