Страница 32 номер 125, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень

Дано:
\(s = 70\) км — длина пробега
скорость первого на 4 км/ч больше, чем второго
первый прибыл к финишу на 2 ч раньше второго

Найти: скорость велосипедиста, пришедшего к финишу вторым.

Решение:

Пусть \(v\) км/ч — скорость второго велосипедиста, тогда скорость первого равна \((v + 4)\) км/ч. Второй велосипедист проехал пробег за \(\frac{70}{v}\) ч, первый — за \(\frac{70}{v + 4}\) ч, то есть на 2 ч быстрее.

Составим уравнение. Скорость \(v\) положительна по смыслу задачи, поэтому общий знаменатель дробей \(v(v + 4)\) тоже положителен. Умножим обе части уравнения на положительное число \(v(v + 4)\), раскроем скобки, перенесём все слагаемые в одну часть и разделим обе части на 2: \[\begin{aligned} \frac{70}{v} - \frac{70}{v + 4} &= 2; \qquad | \cdot v(v + 4) \\ 70(v + 4) - 70v &= 2v(v + 4); \\ 70v + 280 - 70v &= 2v^2 + 8v; \\ 280 &= 2v^2 + 8v; \\ 2v^2 + 8v - 280 &= 0; \qquad | : 2 \\ v^2 + 4v - 140 &= 0; \\ D &= 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-140) = 16 + 560 = 576. \end{aligned}\] Дискриминант положителен, поэтому уравнение имеет два корня: \[\begin{aligned} v_1 &= \frac{-4 - \sqrt{576}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 - 24}{2} = -14; \\ v_2 &= \frac{-4 + \sqrt{576}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 + 24}{2} = 10. \end{aligned}\] Скорость не может быть отрицательной, поэтому корень \(-14\) не подходит по смыслу задачи. Значит, скорость второго велосипедиста равна 10 км/ч. К финишу вторым пришёл второй велосипедист — он ехал медленнее первого.

Проверка: второй велосипедист был в пути \(70 : 10 = 7\) (ч); первый ехал со скоростью \(10 + 4 = 14\) (км/ч) и был в пути \(70 : 14 = 5\) (ч), то есть на \(7 - 5 = 2\) (ч) меньше.

Ответ: 10 км/ч.