Страница 32 номер 124, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень

Дано:
\(s = 180\) км — расстояние между А и В
скорость на обратном пути на 3 км/ч больше
остановка на обратном пути — 2 ч
время на обратный путь равно времени на путь из А в В

Найти: скорость велосипедиста на пути из А в В.

Решение:

Пусть \(v\) км/ч — скорость велосипедиста на пути из А в В, тогда на пути из В в А его скорость равна \((v + 3)\) км/ч. На путь из А в В велосипедист затратил \(\frac{180}{v}\) ч, а на обратном пути он был в движении \(\frac{180}{v + 3}\) ч и ещё 2 ч стоял. На весь обратный путь ушло столько же времени, сколько на путь из А в В, поэтому в движении на обратном пути велосипедист провёл на 2 ч меньше.

Составим уравнение. Скорость \(v\) положительна по смыслу задачи, поэтому общий знаменатель дробей \(v(v + 3)\) тоже положителен. Умножим обе части уравнения на положительное число \(v(v + 3)\), раскроем скобки, перенесём все слагаемые в одну часть и разделим обе части на 2: \[\begin{aligned} \frac{180}{v} - \frac{180}{v + 3} &= 2; \qquad | \cdot v(v + 3) \\ 180(v + 3) - 180v &= 2v(v + 3); \\ 180v + 540 - 180v &= 2v^2 + 6v; \\ 540 &= 2v^2 + 6v; \\ 2v^2 + 6v - 540 &= 0; \qquad | : 2 \\ v^2 + 3v - 270 &= 0; \\ D &= 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-270) = 9 + 1080 = 1089. \end{aligned}\] Дискриминант положителен, поэтому уравнение имеет два корня: \[\begin{aligned} v_1 &= \frac{-3 - \sqrt{1089}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 - 33}{2} = -18; \\ v_2 &= \frac{-3 + \sqrt{1089}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 + 33}{2} = 15. \end{aligned}\] Скорость не может быть отрицательной, поэтому корень \(-18\) не подходит по смыслу задачи. Значит, на пути из А в В скорость велосипедиста была 15 км/ч.

Проверка: из А в В велосипедист ехал \(180 : 15 = 12\) (ч); на обратном пути его скорость была \(15 + 3 = 18\) (км/ч), и на обратный путь он затратил \(180 : 18 + 2 = 10 + 2 = 12\) (ч) — столько же.

Ответ: 15 км/ч.