Страница 32 номер 121, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень

Дано:
\(V = 180\) л — объём резервуара
первая труба пропускает на 3 л/мин меньше второй
первая труба заполняет резервуар на 2 мин дольше второй

Найти: сколько литров воды в минуту пропускает первая труба.

Решение:

Пусть первая труба пропускает \(x\) л воды в минуту, тогда вторая — \((x + 3)\) л в минуту. Первая труба заполняет резервуар за \(\frac{180}{x}\) мин, вторая — за \(\frac{180}{x + 3}\) мин, то есть на 2 мин быстрее.

Составим уравнение. Число \(x\) положительно по смыслу задачи, поэтому общий знаменатель дробей \(x(x + 3)\) тоже положителен. Умножим обе части уравнения на положительное число \(x(x + 3)\), раскроем скобки, перенесём все слагаемые в одну часть и разделим обе части на 2: \[\begin{aligned} \frac{180}{x} - \frac{180}{x + 3} &= 2; \qquad | \cdot x(x + 3) \\ 180(x + 3) - 180x &= 2x(x + 3); \\ 180x + 540 - 180x &= 2x^2 + 6x; \\ 540 &= 2x^2 + 6x; \\ 2x^2 + 6x - 540 &= 0; \qquad | : 2 \\ x^2 + 3x - 270 &= 0; \\ D &= 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-270) = 9 + 1080 = 1089. \end{aligned}\] Дискриминант положителен, поэтому уравнение имеет два корня: \[\begin{aligned} x_1 &= \frac{-3 - \sqrt{1089}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 - 33}{2} = -18; \\ x_2 &= \frac{-3 + \sqrt{1089}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 + 33}{2} = 15. \end{aligned}\] Число литров, которое труба пропускает за минуту, не может быть отрицательным, поэтому корень \(-18\) не подходит по смыслу задачи. Значит, первая труба пропускает 15 л воды в минуту.

Проверка: первая труба заполняет резервуар за \(180 : 15 = 12\) (мин); вторая пропускает \(15 + 3 = 18\) (л) в минуту и заполняет его за \(180 : 18 = 10\) (мин), то есть на \(12 - 10 = 2\) (мин) быстрее.

Ответ: 15 л.