Страница 32 номер 120, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Заказ на изготовление 90 деталей первый рабочий выполняет на 1 час быстрее, чем второй. Сколько деталей за час изготавливает второй рабочий, если известно, что первый за час изготавливает на 1 деталь больше?
Дано:
\(A = 90\) деталей — заказ
\(t_1 = t_2 - 1\) (ч) — время работы первого рабочего
\(p_1 = p_2 + 1\) (дет./ч) — производительность первого рабочего
Найти: \(p_2\) — производительность второго рабочего.
Решение:
Пусть \(p_2 = x\) дет./ч, тогда \(p_1 = (x + 1)\) дет./ч. Второй рабочий выполняет заказ за \(\frac{90}{x}\) ч, первый — за \(\frac{90}{x + 1}\) ч, то есть на 1 ч быстрее.
Число деталей \(x\) положительно по смыслу задачи, поэтому общий знаменатель дробей \(x(x + 1)\) тоже положителен: \[\begin{aligned} \frac{90}{x} - \frac{90}{x + 1} &= 1; \qquad | \cdot x(x + 1) \\ 90(x + 1) - 90x &= x(x + 1); \\ 90x + 90 - 90x &= x^2 + x; \\ 90 &= x^2 + x; \\ x^2 + x - 90 &= 0; \\ D &= 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-90) = 1 + 360 = 361; \\ x_1 &= \frac{-1 - \sqrt{361}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 - 19}{2} = -10; \\ x_2 &= \frac{-1 + \sqrt{361}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 + 19}{2} = 9. \end{aligned}\] Число деталей не может быть отрицательным, поэтому корень \(-10\) не подходит по смыслу задачи; значит, \(p_2 = 9\) дет./ч — второй рабочий изготавливает за час 9 деталей.
Проверка: второй рабочий выполняет заказ за \(90 : 9 = 10\) (ч); первый изготавливает за час \(9 + 1 = 10\) деталей и выполняет заказ за \(90 : 10 = 9\) (ч), на \(10 - 9 = 1\) (ч) быстрее.
Ответ: 9 деталей.
Заказ на изготовление 90 деталей первый рабочий выполняет на 1 час быстрее, чем второй. Сколько деталей за час изготавливает второй рабочий, если известно, что первый за час изготавливает на 1 деталь больше?
Дано:
\(A = 90\) деталей — заказ
\(t_1 = t_2 - 1\) (ч) — время работы первого рабочего
\(p_1 = p_2 + 1\) (дет./ч) — производительность первого рабочего
Найти: \(p_2\) — производительность второго рабочего.
Решение:
Пусть \(p_2 = x\) дет./ч, тогда \(p_1 = (x + 1)\) дет./ч. Второй рабочий выполняет заказ за \(\frac{90}{x}\) ч, первый — за \(\frac{90}{x + 1}\) ч, то есть на 1 ч быстрее.
Составим уравнение. Число деталей \(x\) положительно по смыслу задачи, поэтому общий знаменатель дробей \(x(x + 1)\) тоже положителен. Умножим обе части уравнения на положительное число \(x(x + 1)\), раскроем скобки и перенесём все слагаемые в одну часть: \[\begin{aligned} \frac{90}{x} - \frac{90}{x + 1} &= 1; \qquad | \cdot x(x + 1) \\ 90(x + 1) - 90x &= x(x + 1); \\ 90x + 90 - 90x &= x^2 + x; \\ 90 &= x^2 + x; \\ x^2 + x - 90 &= 0; \\ D &= 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-90) = 1 + 360 = 361. \end{aligned}\] Дискриминант положителен, поэтому уравнение имеет два корня: \[\begin{aligned} x_1 &= \frac{-1 - \sqrt{361}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 - 19}{2} = -10; \\ x_2 &= \frac{-1 + \sqrt{361}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 + 19}{2} = 9. \end{aligned}\] Число деталей не может быть отрицательным, поэтому корень \(-10\) не подходит по смыслу задачи. Значит, \(p_2 = 9\) дет./ч — второй рабочий изготавливает за час 9 деталей.
Проверка: второй рабочий выполняет заказ за \(90 : 9 = 10\) (ч), первый изготавливает за час \(9 + 1 = 10\) деталей и выполняет заказ за \(90 : 10 = 9\) (ч), то есть на \(10 - 9 = 1\) (ч) быстрее.
Ответ: 9 деталей.
