Страница 32 номер 119, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень

Дано:
\(s = 156\) км — длина пробега
скорость первого на 1 км/ч больше, чем второго
первый прибыл к финишу на 1 ч раньше второго

Найти: скорость велосипедиста, пришедшего к финишу первым.

Решение:

Пусть \(v\) км/ч — скорость второго велосипедиста, тогда скорость первого равна \((v + 1)\) км/ч. Второй велосипедист проехал пробег за \(\frac{156}{v}\) ч, первый — за \(\frac{156}{v + 1}\) ч, то есть на 1 ч быстрее.

Составим уравнение. Скорость \(v\) положительна по смыслу задачи, поэтому общий знаменатель дробей \(v(v + 1)\) тоже положителен. Умножим обе части уравнения на положительное число \(v(v + 1)\), раскроем скобки и перенесём все слагаемые в одну часть: \[\begin{aligned} \frac{156}{v} - \frac{156}{v + 1} &= 1; \qquad | \cdot v(v + 1) \\ 156(v + 1) - 156v &= v(v + 1); \\ 156v + 156 - 156v &= v^2 + v; \\ 156 &= v^2 + v; \\ v^2 + v - 156 &= 0; \\ D &= 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-156) = 1 + 624 = 625. \end{aligned}\] Дискриминант положителен, поэтому уравнение имеет два корня: \[\begin{aligned} v_1 &= \frac{-1 - \sqrt{625}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 - 25}{2} = -13; \\ v_2 &= \frac{-1 + \sqrt{625}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 + 25}{2} = 12. \end{aligned}\] Скорость не может быть отрицательной, поэтому корень \(-13\) не подходит по смыслу задачи. Значит, скорость второго велосипедиста равна 12 км/ч. К финишу первым пришёл первый велосипедист, его скорость равна \(12 + 1 = 13\) (км/ч).

Проверка: второй велосипедист был в пути \(156 : 12 = 13\) (ч), первый — \(156 : 13 = 12\) (ч), то есть на \(13 - 12 = 1\) (ч) меньше.

Ответ: 13 км/ч.