Страница 31 номер 115, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Постройте график функции: а) \(y = |(3 + x)^2 + 2|\); б) \(y = |x^2 - 4x + 3|\); в) \(y = (|x| - 1)^2 + 2\).
а) Квадрат \((3 + x)^2\) неотрицателен, поэтому \((3 + x)^2 + 2 \geqslant 2\) при любом \(x\) — выражение под знаком модуля положительно, и \(|(3 + x)^2 + 2| = (x + 3)^2 + 2\). Значит, график функции \(y = |(3 + x)^2 + 2|\) совпадает с графиком функции \(y = (x + 3)^2 + 2\).
Это парабола, которая получается из параболы \(y = x^2\) сдвигом на 3 единицы влево и на 2 единицы вверх; вершина — точка \((-3; 2)\), ветви направлены вверх.
б) \[x^2 - 4x + 3 = x^2 - 2 \cdot 2x + 2^2 - 2^2 + 3 = (x - 2)^2 - 1.\] Парабола \(y = (x - 2)^2 - 1\) получается из параболы \(y = x^2\) сдвигом на 2 единицы вправо и на 1 единицу вниз; вершина — точка \((2; -1)\), ветви направлены вверх.
Точки пересечения с осью \(x\): \((x - 2)^2 - 1 = 0\);
\((x - 2)^2 = 1\);
\(x - 2 = -1\) или \(x - 2 = 1\);
\(x = 1\) или \(x = 3\).
\((0; 3)\) — точка пересечения с осью \(y\), её ордината равна свободному члену трёхчлена \(x^2 - 4x + 3\).
Ветви направлены вверх, поэтому в нижней полуплоскости лежит часть параболы между точками \((1; 0)\) и \((3; 0)\). Значения функции \(y = |x^2 - 4x + 3|\) совпадают с неотрицательными значениями функции \(y = x^2 - 4x + 3\) и противоположны её отрицательным значениям, поэтому эта часть отражается симметрично относительно оси абсцисс, а остальная часть, в том числе точка \((0; 3)\), остаётся на месте. Вершина \((2; -1)\) переходит в точку \((2; 1)\).
в) Парабола \(y = (x - 1)^2 + 2\) получается из параболы \(y = x^2\) сдвигом на 1 единицу вправо и на 2 единицы вверх; вершина — точка \((1; 2)\), ветви направлены вверх.
При \(x \geqslant 0\) значения функций \(y = (|x| - 1)^2 + 2\) и \(y = (x - 1)^2 + 2\) совпадают. Функция \(y = (|x| - 1)^2 + 2\) определена при любом \(x\) и при противоположных значениях \(x\) принимает равные значения — она чётная, её график симметричен относительно оси \(y\). Поэтому строим график функции \(y = (x - 1)^2 + 2\) для неотрицательных \(x\) и отражаем его симметрично относительно оси \(y\) в левую полуплоскость.
При \(x \geqslant 0\) часть параболы начинается в точке \((0; 3)\), так как \((0 - 1)^2 + 2 = 3\), опускается до вершины \((1; 2)\) и затем поднимается по правой ветви.
После отражения у графика две вершины, \((-1; 2)\) и \((1; 2)\), а на оси \(y\) — точка излома \((0; 3)\). Ось \(x\) график не пересекает, так как \((|x| - 1)^2 \geqslant 0\) и поэтому \(y \geqslant 2\) при любом \(x\).
Постройте график функции: а) \(y = |(3 + x)^2 + 2|\); б) \(y = |x^2 - 4x + 3|\); в) \(y = (|x| - 1)^2 + 2\).
а) При любом \(x\) квадрат \((3 + x)^2\) неотрицателен, поэтому \((3 + x)^2 + 2 \geqslant 2\): выражение под знаком модуля положительно при любом \(x\). Модуль положительного числа равен самому числу, поэтому \(|(3 + x)^2 + 2| = (x + 3)^2 + 2\) при любом \(x\). Значит, модуль здесь ничего не меняет: график функции \(y = |(3 + x)^2 + 2|\) совпадает с графиком функции \(y = (x + 3)^2 + 2\).
Это парабола, которая получается из параболы \(y = x^2\) сдвигом на 3 единицы влево и на 2 единицы вверх; её вершина — точка \((-3; 2)\), ветви направлены вверх.
б) Выделим полный квадрат:
\[x^2 - 4x + 3 = x^2 - 2 \cdot 2x + 2^2 - 2^2 + 3 = (x - 2)^2 - 1.\]
Сначала построим график функции \(y = (x - 2)^2 - 1\). Это парабола, которая получается из параболы \(y = x^2\) сдвигом на 2 единицы вправо и на 1 единицу вниз; её вершина — точка \((2; -1)\), ветви направлены вверх. Точки пересечения с осью \(x\): \((x - 2)^2 - 1 = 0\);
\((x - 2)^2 = 1\);
\(x - 2 = -1\) или \(x - 2 = 1\);
\(x = 1\) или \(x = 3\). С осью \(y\) парабола пересекается в точке \((0; 3)\): ордината этой точки равна свободному члену трёхчлена \(x^2 - 4x + 3\).
Ветви параболы направлены вверх, поэтому в нижней полуплоскости лежит её часть между точками \((1; 0)\) и \((3; 0)\). Значения функции \(y = |x^2 - 4x + 3|\) совпадают с неотрицательными значениями функции \(y = x^2 - 4x + 3\) и противоположны её отрицательным значениям. Поэтому часть параболы, расположенная в нижней полуплоскости, отражается симметрично относительно оси абсцисс, а остальная часть, в том числе точка \((0; 3)\), остаётся на месте. При отражении вершина \((2; -1)\) переходит в точку \((2; 1)\).
в) Сначала построим график функции \(y = (x - 1)^2 + 2\). Он получается из параболы \(y = x^2\) сдвигом на 1 единицу вправо и на 2 единицы вверх: это парабола с вершиной \((1; 2)\), ветви которой направлены вверх.
Формула \(y = (|x| - 1)^2 + 2\) отличается от формулы \(y = (x - 1)^2 + 2\) тем, что вместо \(x\) стоит \(|x|\). Модуль неотрицательного числа равен самому числу, поэтому при \(x \geqslant 0\) значения этих функций совпадают. Функция \(y = (|x| - 1)^2 + 2\) определена при любом \(x\), а модули противоположных чисел равны, поэтому при противоположных значениях \(x\) она принимает равные значения, то есть она чётная, и её график симметричен относительно оси \(y\). Значит, достаточно построить график функции \(y = (x - 1)^2 + 2\) для неотрицательных \(x\), а затем отразить его симметрично относительно оси \(y\) в левую полуплоскость.
При \(x \geqslant 0\) в график входит часть параболы, которая начинается в точке \((0; 3)\), так как \((0 - 1)^2 + 2 = 3\), опускается до вершины \((1; 2)\) и затем поднимается по правой ветви. Отразив эту часть симметрично относительно оси \(y\), получим график функции \(y = (|x| - 1)^2 + 2\): у него две вершины, \((-1; 2)\) и \((1; 2)\), а на оси \(y\) — точка излома \((0; 3)\). Ось \(x\) этот график не пересекает, так как \((|x| - 1)^2 \geqslant 0\) и поэтому \(y \geqslant 2\) при любом \(x\).
