Страница 31 номер 114, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Постройте график функции: а) \(y = |x^2 - 4|\); б) \(y = |(x - 1)^2 - 4|\); в) \(y = |x^2 + 2x - 3|\); г) \(y = -(|x| + 2)^2 + 5\).
а) Парабола \(y = x^2 - 4\) получается из параболы \(y = x^2\) сдвигом на 4 единицы вниз; вершина — точка \((0; -4)\), ветви направлены вверх.
Точки пересечения с осью \(x\): \(x^2 - 4 = 0\);
\(x^2 = 4\);
\(x = -2\) или \(x = 2\).
Ветви направлены вверх, поэтому в нижней полуплоскости лежит часть параболы между точками \((-2; 0)\) и \((2; 0)\). Отрицательные значения функции \(y = x^2 - 4\) меняют знак, а неотрицательные остаются без изменения, поэтому эта часть отражается симметрично относительно оси абсцисс, а остальная часть параболы остаётся на месте. Вершина \((0; -4)\) переходит в точку \((0; 4)\).
б) Парабола \(y = (x - 1)^2 - 4\) получается из параболы \(y = x^2\) сдвигом на 1 единицу вправо и на 4 единицы вниз; вершина — точка \((1; -4)\), ветви направлены вверх.
Точки пересечения с осью \(x\): \((x - 1)^2 - 4 = 0\);
\((x - 1)^2 = 4\);
\(x - 1 = -2\) или \(x - 1 = 2\);
\(x = -1\) или \(x = 3\).
\((0 - 1)^2 - 4 = -3\) — парабола пересекает ось \(y\) в точке \((0; -3)\).
Ветви направлены вверх, поэтому в нижней полуплоскости лежит часть параболы между точками \((-1; 0)\) и \((3; 0)\). Значения функции \(y = |(x - 1)^2 - 4|\) совпадают с неотрицательными значениями функции \(y = (x - 1)^2 - 4\) и противоположны её отрицательным значениям, поэтому эта часть отражается симметрично относительно оси абсцисс, а остальная часть остаётся на месте. Вершина \((1; -4)\) переходит в точку \((1; 4)\), точка \((0; -3)\) — в точку \((0; 3)\).
в) \[x^2 + 2x - 3 = x^2 + 2 \cdot 1 \cdot x + 1^2 - 1^2 - 3 = (x + 1)^2 - 4.\] Парабола \(y = (x + 1)^2 - 4\) получается из параболы \(y = x^2\) сдвигом на 1 единицу влево и на 4 единицы вниз; вершина — точка \((-1; -4)\), ветви направлены вверх.
Точки пересечения с осью \(x\): \((x + 1)^2 - 4 = 0\);
\((x + 1)^2 = 4\);
\(x + 1 = -2\) или \(x + 1 = 2\);
\(x = -3\) или \(x = 1\).
\((0; -3)\) — точка пересечения с осью \(y\), её ордината равна свободному члену трёхчлена \(x^2 + 2x - 3\).
Ветви направлены вверх, поэтому в нижней полуплоскости лежит часть параболы между точками \((-3; 0)\) и \((1; 0)\). Значения функции \(y = |x^2 + 2x - 3|\) совпадают с неотрицательными значениями функции \(y = x^2 + 2x - 3\) и противоположны её отрицательным значениям, поэтому эта часть отражается симметрично относительно оси абсцисс, а остальная часть остаётся на месте. Вершина \((-1; -4)\) переходит в точку \((-1; 4)\), точка \((0; -3)\) — в точку \((0; 3)\).
г) Парабола \(y = -(x + 2)^2 + 5\) получается из параболы \(y = -x^2\) сдвигом на 2 единицы влево и на 5 единиц вверх; вершина — точка \((-2; 5)\), ветви направлены вниз.
При \(x \geqslant 0\) значения функций \(y = -(|x| + 2)^2 + 5\) и \(y = -(x + 2)^2 + 5\) совпадают. Функция \(y = -(|x| + 2)^2 + 5\) определена при любом \(x\) и при противоположных значениях \(x\) принимает равные значения — она чётная, её график симметричен относительно оси \(y\). Поэтому строим график функции \(y = -(x + 2)^2 + 5\) для неотрицательных \(x\) и отражаем его симметрично относительно оси \(y\) в левую полуплоскость.
Вершина \((-2; 5)\) лежит левее оси \(y\), поэтому при \(x \geqslant 0\) остаётся только часть правой ветви; она начинается в точке \((0; 1)\), так как \(-(0 + 2)^2 + 5 = 1\), и идёт вниз.
Пересечение с осью \(x\): \(-(x + 2)^2 + 5 = 0\), то есть \((x + 2)^2 = 5\). При \(x \geqslant 0\) число \(x + 2\) положительно, поэтому \(x + 2 = \sqrt{5}\), откуда \(x = \sqrt{5} - 2\); это число положительно, так как \(\sqrt{5} > \sqrt{4} = 2\).
После отражения относительно оси \(y\) получаем две ветви, которые идут вниз от точки излома \((0; 1)\) и пересекают ось \(x\) в точках \((2 - \sqrt{5}; 0)\) и \((\sqrt{5} - 2; 0)\). Вершина \((-2; 5)\) параболы в этот график не входит.
Постройте график функции: а) \(y = |x^2 - 4|\); б) \(y = |(x - 1)^2 - 4|\); в) \(y = |x^2 + 2x - 3|\); г) \(y = -(|x| + 2)^2 + 5\).
а) Сначала построим график функции \(y = x^2 - 4\). Это парабола, которая получается из параболы \(y = x^2\) сдвигом на 4 единицы вниз; её вершина — точка \((0; -4)\), ветви направлены вверх. Найдём точки её пересечения с осью \(x\): \(x^2 - 4 = 0\);
\(x^2 = 4\);
\(x = -2\) или \(x = 2\).
По определению модуля \(|x^2 - 4| = x^2 - 4\), если \(x^2 - 4 \geqslant 0\), и \(|x^2 - 4| = -(x^2 - 4)\), если \(x^2 - 4 < 0\). Значит, неотрицательные значения функции \(y = x^2 - 4\) остаются без изменения, а отрицательные меняют знак. Точки \((x; y)\) и \((x; -y)\) симметричны относительно оси абсцисс, поэтому часть параболы, расположенная в нижней полуплоскости, отражается симметрично относительно оси абсцисс, а остальная часть параболы остаётся на месте. Ветви параболы направлены вверх, поэтому в нижней полуплоскости лежит её часть между точками \((-2; 0)\) и \((2; 0)\). При отражении вершина \((0; -4)\) переходит в точку \((0; 4)\).
б) Сначала построим график функции \(y = (x - 1)^2 - 4\). Это парабола, которая получается из параболы \(y = x^2\) сдвигом на 1 единицу вправо и на 4 единицы вниз; её вершина — точка \((1; -4)\), ветви направлены вверх. Точки пересечения с осью \(x\): \((x - 1)^2 - 4 = 0\);
\((x - 1)^2 = 4\);
\(x - 1 = -2\) или \(x - 1 = 2\);
\(x = -1\) или \(x = 3\). С осью \(y\) парабола пересекается в точке \((0; -3)\), так как \((0 - 1)^2 - 4 = -3\).
Ветви параболы направлены вверх, поэтому в нижней полуплоскости лежит её часть между точками \((-1; 0)\) и \((3; 0)\). Значения функции \(y = |(x - 1)^2 - 4|\) совпадают с неотрицательными значениями функции \(y = (x - 1)^2 - 4\) и противоположны её отрицательным значениям. Поэтому часть параболы, расположенная в нижней полуплоскости, отражается симметрично относительно оси абсцисс, а остальная часть остаётся на месте. При отражении вершина \((1; -4)\) переходит в точку \((1; 4)\), а точка \((0; -3)\) — в точку \((0; 3)\).
в) Выделим полный квадрат:
\[x^2 + 2x - 3 = x^2 + 2 \cdot 1 \cdot x + 1^2 - 1^2 - 3 = (x + 1)^2 - 4.\]
Сначала построим график функции \(y = (x + 1)^2 - 4\). Это парабола, которая получается из параболы \(y = x^2\) сдвигом на 1 единицу влево и на 4 единицы вниз; её вершина — точка \((-1; -4)\), ветви направлены вверх. Точки пересечения с осью \(x\): \((x + 1)^2 - 4 = 0\);
\((x + 1)^2 = 4\);
\(x + 1 = -2\) или \(x + 1 = 2\);
\(x = -3\) или \(x = 1\). С осью \(y\) парабола пересекается в точке \((0; -3)\): ордината этой точки равна свободному члену трёхчлена \(x^2 + 2x - 3\).
Ветви параболы направлены вверх, поэтому в нижней полуплоскости лежит её часть между точками \((-3; 0)\) и \((1; 0)\). Значения функции \(y = |x^2 + 2x - 3|\) совпадают с неотрицательными значениями функции \(y = x^2 + 2x - 3\) и противоположны её отрицательным значениям. Поэтому часть параболы, расположенная в нижней полуплоскости, отражается симметрично относительно оси абсцисс, а остальная часть остаётся на месте. При отражении вершина \((-1; -4)\) переходит в точку \((-1; 4)\), а точка \((0; -3)\) — в точку \((0; 3)\).
г) Сначала построим график функции \(y = -(x + 2)^2 + 5\). Он получается из параболы \(y = -x^2\) сдвигом на 2 единицы влево и на 5 единиц вверх: это парабола с вершиной \((-2; 5)\), ветви которой направлены вниз.
Формула \(y = -(|x| + 2)^2 + 5\) отличается от формулы \(y = -(x + 2)^2 + 5\) тем, что вместо \(x\) стоит \(|x|\). Модуль неотрицательного числа равен самому числу, поэтому при \(x \geqslant 0\) значения этих функций совпадают. Функция \(y = -(|x| + 2)^2 + 5\) определена при любом \(x\), а модули противоположных чисел равны, поэтому при противоположных значениях \(x\) она принимает равные значения, то есть она чётная, и её график симметричен относительно оси \(y\). Значит, достаточно построить график функции \(y = -(x + 2)^2 + 5\) для неотрицательных \(x\), а затем отразить его симметрично относительно оси \(y\) в левую полуплоскость.
Вершина \((-2; 5)\) лежит левее оси \(y\), поэтому при \(x \geqslant 0\) от параболы остаётся только часть её правой ветви. Эта часть начинается в точке \((0; 1)\), так как \(-(0 + 2)^2 + 5 = 1\), и идёт вниз. Она пересекает ось \(x\) там, где \(-(x + 2)^2 + 5 = 0\), то есть \((x + 2)^2 = 5\). При \(x \geqslant 0\) число \(x + 2\) положительно, поэтому \(x + 2 = \sqrt{5}\), откуда \(x = \sqrt{5} - 2\); это число положительно, так как \(\sqrt{5} > \sqrt{4} = 2\).
Отразив построенную часть симметрично относительно оси \(y\), получим график функции \(y = -(|x| + 2)^2 + 5\): две ветви, которые идут вниз от точки излома \((0; 1)\) и пересекают ось \(x\) в точках \((2 - \sqrt{5}; 0)\) и \((\sqrt{5} - 2; 0)\). Вершина \((-2; 5)\) параболы в этот график не входит.
