Страница 31 номер 113, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Постройте график функции \(y = x^2 - 4x + 3\) при помощи ключевых точек.
Коэффициент при \(x^2\) равен 1, он положителен — ветви параболы направлены вверх.
Вершина параболы: \[\begin{aligned} x_0 &= -\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2; \\ y_0 &= 2^2 - 4 \cdot 2 + 3 = 4 - 8 + 3 = -1. \end{aligned}\]
Нули функции — корни уравнения \(x^2 - 4x + 3 = 0\): \[\begin{aligned} D &= (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 - 12 = 4; \\ x_1 &= \frac{4 - \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{4 - 2}{2} = 1; \\ x_2 &= \frac{4 + \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{4 + 2}{2} = 3. \end{aligned}\] Значит, парабола пересекает ось \(x\) в точках \((1; 0)\) и \((3; 0)\).
\((0; 3)\) — точка пересечения с осью \(y\), её ордината равна свободному члену.
\(\frac{1 + 3}{2} = 2\) — абсцисса вершины лежит посередине между нулями, вычисления верны.
Постройте график функции \(y = x^2 - 4x + 3\) при помощи ключевых точек.
Графиком функции \(y = x^2 - 4x + 3\) является парабола. Коэффициент при \(x^2\) равен 1, он положителен, поэтому ветви параболы направлены вверх.
Найдём координаты вершины параболы: \[\begin{aligned} x_0 &= -\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2; \\ y_0 &= 2^2 - 4 \cdot 2 + 3 = 4 - 8 + 3 = -1. \end{aligned}\]
Абсциссы точек пересечения параболы с осью \(x\) — нули функции, то есть корни уравнения \(x^2 - 4x + 3 = 0\). Найдём дискриминант: \[D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 - 12 = 4.\] Дискриминант положителен, поэтому уравнение имеет два корня: \[\begin{aligned} x_1 &= \frac{4 - \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{4 - 2}{2} = 1; \\ x_2 &= \frac{4 + \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{4 + 2}{2} = 3. \end{aligned}\] Значит, парабола пересекает ось \(x\) в точках \((1; 0)\) и \((3; 0)\).
Ордината точки пересечения параболы с осью \(y\) равна свободному члену, поэтому эта точка — \((0; 3)\).
Проверим вычисления: абсцисса вершины должна лежать посередине между нулями функции, и действительно, \(\frac{1 + 3}{2} = 2\).
Отметим найденные точки и проведём через них параболу.
