Страница 31 номер 112, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Определите координаты ключевых точек графика функции \(y = -x^2 + 3x - 2\) и постройте его.
Коэффициент при \(x^2\) равен \(-1\), он отрицателен — ветви параболы направлены вниз.
Вершина параболы: \[\begin{aligned} x_0 &= -\frac{3}{2 \cdot (-1)} = 1{,}5; \\ y_0 &= -(1{,}5)^2 + 3 \cdot 1{,}5 - 2 = -2{,}25 + 4{,}5 - 2 = 0{,}25. \end{aligned}\]
Нули функции: \[\begin{aligned} -x^2 + 3x - 2 &= 0; \qquad | \cdot (-1) \\ x^2 - 3x + 2 &= 0; \\ D &= (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 - 8 = 1; \\ x_1 &= \frac{3 - \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{3 - 1}{2} = 1; \\ x_2 &= \frac{3 + \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{3 + 1}{2} = 2. \end{aligned}\] Значит, парабола пересекает ось \(x\) в точках \((1; 0)\) и \((2; 0)\).
\((0; -2)\) — точка пересечения с осью \(y\), её ордината равна свободному члену.
\(\frac{1 + 2}{2} = 1{,}5\) — абсцисса вершины лежит посередине между нулями, вычисления верны.
Ответ: вершина \((1{,}5; 0{,}25)\); точки пересечения с осью \(x\) — \((1; 0)\) и \((2; 0)\), с осью \(y\) — \((0; -2)\).
Определите координаты ключевых точек графика функции \(y = -x^2 + 3x - 2\) и постройте его.
Графиком функции \(y = -x^2 + 3x - 2\) является парабола. Коэффициент при \(x^2\) равен \(-1\), он отрицателен, поэтому ветви параболы направлены вниз.
Найдём координаты вершины параболы: \[\begin{aligned} x_0 &= -\frac{3}{2 \cdot (-1)} = 1{,}5; \\ y_0 &= -(1{,}5)^2 + 3 \cdot 1{,}5 - 2 = -2{,}25 + 4{,}5 - 2 = 0{,}25. \end{aligned}\]
Абсциссы точек пересечения параболы с осью \(x\) — нули функции, то есть корни уравнения \(-x^2 + 3x - 2 = 0\). Умножим обе части уравнения на \(-1\) и найдём дискриминант: \[\begin{aligned} -x^2 + 3x - 2 &= 0; \qquad | \cdot (-1) \\ x^2 - 3x + 2 &= 0; \\ D &= (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 - 8 = 1. \end{aligned}\] Дискриминант положителен, поэтому уравнение имеет два корня: \[\begin{aligned} x_1 &= \frac{3 - \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{3 - 1}{2} = 1; \\ x_2 &= \frac{3 + \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{3 + 1}{2} = 2. \end{aligned}\] Значит, парабола пересекает ось \(x\) в точках \((1; 0)\) и \((2; 0)\).
Ордината точки пересечения параболы с осью \(y\) равна свободному члену, поэтому эта точка — \((0; -2)\).
Проверим вычисления: абсцисса вершины должна лежать посередине между нулями функции, и действительно, \(\frac{1 + 2}{2} = 1{,}5\).
Отметим найденные точки и проведём через них параболу.
Ответ: вершина \((1{,}5; 0{,}25)\); точки пересечения с осью \(x\) — \((1; 0)\) и \((2; 0)\), с осью \(y\) — \((0; -2)\).
