Страница 31 номер 111, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Определите координаты ключевых точек графика функции \(y = x^2 + 7x + 6\) и постройте его.
Коэффициент при \(x^2\) равен 1, он положителен — ветви параболы направлены вверх.
Вершина параболы: \[\begin{aligned} x_0 &= -\frac{7}{2 \cdot 1} = -3{,}5; \\ y_0 &= (-3{,}5)^2 + 7 \cdot (-3{,}5) + 6 = 12{,}25 - 24{,}5 + 6 = -6{,}25. \end{aligned}\]
Нули функции — корни уравнения \(x^2 + 7x + 6 = 0\): \[\begin{aligned} D &= 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 49 - 24 = 25; \\ x_1 &= \frac{-7 - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-7 - 5}{2} = -6; \\ x_2 &= \frac{-7 + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-7 + 5}{2} = -1. \end{aligned}\] Значит, парабола пересекает ось \(x\) в точках \((-6; 0)\) и \((-1; 0)\).
\((0; 6)\) — точка пересечения с осью \(y\), её ордината равна свободному члену.
\(\frac{-6 + (-1)}{2} = -3{,}5\) — абсцисса вершины лежит посередине между нулями, вычисления верны.
Ответ: вершина \((-3{,}5; -6{,}25)\); точки пересечения с осью \(x\) — \((-6; 0)\) и \((-1; 0)\), с осью \(y\) — \((0; 6)\).
Определите координаты ключевых точек графика функции \(y = x^2 + 7x + 6\) и постройте его.
Графиком функции \(y = x^2 + 7x + 6\) является парабола. Коэффициент при \(x^2\) равен 1, он положителен, поэтому ветви параболы направлены вверх.
Найдём координаты вершины параболы: \[\begin{aligned} x_0 &= -\frac{7}{2 \cdot 1} = -3{,}5; \\ y_0 &= (-3{,}5)^2 + 7 \cdot (-3{,}5) + 6 = 12{,}25 - 24{,}5 + 6 = -6{,}25. \end{aligned}\]
Абсциссы точек пересечения параболы с осью \(x\) — нули функции, то есть корни уравнения \(x^2 + 7x + 6 = 0\). Найдём дискриминант: \[D = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 49 - 24 = 25.\] Дискриминант положителен, поэтому уравнение имеет два корня: \[\begin{aligned} x_1 &= \frac{-7 - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-7 - 5}{2} = -6; \\ x_2 &= \frac{-7 + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-7 + 5}{2} = -1. \end{aligned}\] Значит, парабола пересекает ось \(x\) в точках \((-6; 0)\) и \((-1; 0)\).
Ордината точки пересечения параболы с осью \(y\) равна свободному члену, поэтому эта точка — \((0; 6)\).
Проверим вычисления: абсцисса вершины должна лежать посередине между нулями функции, и действительно, \(\frac{-6 + (-1)}{2} = -3{,}5\).
Отметим найденные точки и проведём через них параболу.
Ответ: вершина \((-3{,}5; -6{,}25)\); точки пересечения с осью \(x\) — \((-6; 0)\) и \((-1; 0)\), с осью \(y\) — \((0; 6)\).
