Страница 31 номер 109, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Постройте график функции \(y = \frac{1}{2}x^2 + 4x + 6\) при помощи ключевых точек.
Коэффициент при \(x^2\) равен \(\frac{1}{2} > 0\) — ветви параболы направлены вверх.
Вершина параболы: \[\begin{aligned} x_0 &= -\frac{4}{2 \cdot \frac{1}{2}} = -4; \\ y_0 &= \frac{1}{2} \cdot (-4)^2 + 4 \cdot (-4) + 6 = 8 - 16 + 6 = -2. \end{aligned}\] Нули функции: \[\begin{aligned} \frac{1}{2}x^2 + 4x + 6 &= 0; \qquad | \cdot 2 \\ x^2 + 8x + 12 &= 0; \\ D &= 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 16; \\ x_1 &= \frac{-8 - \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{-8 - 4}{2} = -6; \\ x_2 &= \frac{-8 + \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{-8 + 4}{2} = -2. \end{aligned}\] Значит, парабола пересекает ось \(x\) в точках \((-6; 0)\) и \((-2; 0)\).
Ось \(y\) парабола пересекает в точке \((0; 6)\): ордината этой точки равна свободному члену.
Проверка: \(\frac{-6 + (-2)}{2} = -4\) — абсцисса вершины лежит посередине между нулями функции.
Постройте график функции \(y = \frac{1}{2}x^2 + 4x + 6\) при помощи ключевых точек.
Ключевые точки графика — вершина параболы и точки её пересечения с осями координат. Коэффициент при \(x^2\) равен \(\frac{1}{2} > 0\), поэтому ветви параболы направлены вверх.
Координаты вершины параболы: \[\begin{aligned} x_0 &= -\frac{4}{2 \cdot \frac{1}{2}} = -4; \\ y_0 &= \frac{1}{2} \cdot (-4)^2 + 4 \cdot (-4) + 6 = 8 - 16 + 6 = -2. \end{aligned}\] Абсциссы точек пересечения параболы с осью \(x\) — корни уравнения \(\frac{1}{2}x^2 + 4x + 6 = 0\). Умножим обе части уравнения на 2: \[\begin{aligned} \frac{1}{2}x^2 + 4x + 6 &= 0; \qquad | \cdot 2 \\ x^2 + 8x + 12 &= 0; \\ D &= 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 16; \\ x_1 &= \frac{-8 - \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{-8 - 4}{2} = -6; \\ x_2 &= \frac{-8 + \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{-8 + 4}{2} = -2. \end{aligned}\] Значит, парабола пересекает ось \(x\) в точках \((-6; 0)\) и \((-2; 0)\). Ось \(y\) она пересекает в точке \((0; 6)\): ордината этой точки равна свободному члену.
Проверка: абсцисса вершины лежит посередине между нулями функции, \(\frac{-6 + (-2)}{2} = -4\).
Отметим ключевые точки на координатной плоскости и проведём через них параболу.
