Страница 31 номер 108, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Определите координаты ключевых точек графика функции \(y = -2x^2 + 3x + 2\) и постройте его.
Коэффициент при \(x^2\) равен \(-2 < 0\) — ветви параболы направлены вниз.
Вершина параболы: \[\begin{aligned} x_0 &= -\frac{3}{2 \cdot (-2)} = \frac{3}{4} = 0{,}75; \\ y_0 &= -2 \cdot 0{,}75^2 + 3 \cdot 0{,}75 + 2 = -1{,}125 + 2{,}25 + 2 = 3{,}125. \end{aligned}\] Нули функции: \[\begin{aligned} -2x^2 + 3x + 2 &= 0; \qquad | \cdot (-1) \\ 2x^2 - 3x - 2 &= 0; \\ D &= (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 25; \\ x_1 &= \frac{3 - \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{3 - 5}{4} = -0{,}5; \\ x_2 &= \frac{3 + \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{3 + 5}{4} = 2. \end{aligned}\] Значит, парабола пересекает ось \(x\) в точках \((-0{,}5; 0)\) и \((2; 0)\).
Ось \(y\) парабола пересекает в точке \((0; 2)\): ордината этой точки равна свободному члену.
Проверка: \(\frac{-0{,}5 + 2}{2} = 0{,}75\) — абсцисса вершины лежит посередине между нулями функции.
Ответ: вершина \((0{,}75; 3{,}125)\); точки пересечения с осью \(x\) — \((-0{,}5; 0)\) и \((2; 0)\), с осью \(y\) — \((0; 2)\).
Определите координаты ключевых точек графика функции \(y = -2x^2 + 3x + 2\) и постройте его.
Ключевые точки графика — вершина параболы и точки её пересечения с осями координат. Коэффициент при \(x^2\) равен \(-2 < 0\), поэтому ветви параболы направлены вниз.
Координаты вершины параболы: \[\begin{aligned} x_0 &= -\frac{3}{2 \cdot (-2)} = \frac{3}{4} = 0{,}75; \\ y_0 &= -2 \cdot 0{,}75^2 + 3 \cdot 0{,}75 + 2 = -1{,}125 + 2{,}25 + 2 = 3{,}125. \end{aligned}\] Абсциссы точек пересечения параболы с осью \(x\) — корни уравнения \(-2x^2 + 3x + 2 = 0\). Умножим обе части уравнения на \(-1\): \[\begin{aligned} -2x^2 + 3x + 2 &= 0; \qquad | \cdot (-1) \\ 2x^2 - 3x - 2 &= 0; \\ D &= (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 25; \\ x_1 &= \frac{3 - \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{3 - 5}{4} = -0{,}5; \\ x_2 &= \frac{3 + \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{3 + 5}{4} = 2. \end{aligned}\] Значит, парабола пересекает ось \(x\) в точках \((-0{,}5; 0)\) и \((2; 0)\). Ось \(y\) она пересекает в точке \((0; 2)\): ордината этой точки равна свободному члену.
Проверка: абсцисса вершины лежит посередине между нулями функции, \(\frac{-0{,}5 + 2}{2} = 0{,}75\).
Отметим ключевые точки на координатной плоскости и проведём через них параболу.
Ответ: вершина \((0{,}75; 3{,}125)\); точки пересечения с осью \(x\) — \((-0{,}5; 0)\) и \((2; 0)\), с осью \(y\) — \((0; 2)\).
