Страница 31 номер 107, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Определите координаты ключевых точек графика функции \(y = x^2 + 4x - 5\) и постройте его.
Коэффициент при \(x^2\) равен \(1 > 0\) — ветви параболы направлены вверх.
Вершина параболы: \[\begin{aligned} x_0 &= -\frac{4}{2 \cdot 1} = -2; \\ y_0 &= (-2)^2 + 4 \cdot (-2) - 5 = -9. \end{aligned}\] Нули функции — корни уравнения \(x^2 + 4x - 5 = 0\): \[\begin{aligned} D &= 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 36; \\ x_1 &= \frac{-4 - \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 - 6}{2} = -5; \\ x_2 &= \frac{-4 + \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 + 6}{2} = 1. \end{aligned}\] Значит, парабола пересекает ось \(x\) в точках \((-5; 0)\) и \((1; 0)\).
Ось \(y\) парабола пересекает в точке \((0; -5)\): ордината этой точки равна свободному члену.
Проверка: \(\frac{-5 + 1}{2} = -2\) — абсцисса вершины лежит посередине между нулями функции.
Ответ: вершина \((-2; -9)\); точки пересечения с осью \(x\) — \((-5; 0)\) и \((1; 0)\), с осью \(y\) — \((0; -5)\).
Определите координаты ключевых точек графика функции \(y = x^2 + 4x - 5\) и постройте его.
Ключевые точки графика — вершина параболы и точки её пересечения с осями координат. Коэффициент при \(x^2\) равен \(1 > 0\), поэтому ветви параболы направлены вверх.
Координаты вершины параболы: \[\begin{aligned} x_0 &= -\frac{4}{2 \cdot 1} = -2; \\ y_0 &= (-2)^2 + 4 \cdot (-2) - 5 = -9. \end{aligned}\] Абсциссы точек пересечения параболы с осью \(x\) — корни уравнения \(x^2 + 4x - 5 = 0\): \[\begin{aligned} D &= 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 36; \\ x_1 &= \frac{-4 - \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 - 6}{2} = -5; \\ x_2 &= \frac{-4 + \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 + 6}{2} = 1. \end{aligned}\] Значит, парабола пересекает ось \(x\) в точках \((-5; 0)\) и \((1; 0)\). Ось \(y\) она пересекает в точке \((0; -5)\): ордината этой точки равна свободному члену.
Проверка: абсцисса вершины лежит посередине между нулями функции, \(\frac{-5 + 1}{2} = -2\).
Отметим ключевые точки на координатной плоскости и проведём через них параболу.
Ответ: вершина \((-2; -9)\); точки пересечения с осью \(x\) — \((-5; 0)\) и \((1; 0)\), с осью \(y\) — \((0; -5)\).
