Темы исследовательских работ на странице 64, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень

План доклада:
1. Модуль числа и его геометрический смысл.
2. Неравенства \(|f(x)| < a\) и \(|f(x)| > a\).
3. Квадратный трёхчлен под знаком модуля.
4. Неравенства вида \(|f(x)| < |g(x)|\).
5. Неравенства с несколькими модулями.

Презентация к докладу: «Решение неравенств, содержащих неизвестное под знаком модуля», 7 слайдов (.pptx)

Основное содержание.

1. Модуль числа и его геометрический смысл. Модуль числа равен самому числу, если оно неотрицательно, и противоположному числу, если оно отрицательно: \(|x| = x\) при \(x \geqslant 0\) и \(|x| = -x\) при \(x < 0\). Модуль любого числа неотрицателен. Геометрически \(|x - a|\) — расстояние между точками \(x\) и \(a\) числовой прямой. Поэтому неравенство \(|x - 2| < 3\) означает, что точка \(x\) удалена от точки 2 меньше чем на 3, и множество его решений — интервал \((-1; 5)\).

2. Неравенства \(|f(x)| < a\) и \(|f(x)| > a\). Пусть \(a > 0\). Неравенство \(|f(x)| < a\) равносильно двойному неравенству \(-a < f(x) < a\), а неравенство \(|f(x)| > a\) выполняется тогда и только тогда, когда \(f(x) < -a\) или \(f(x) > a\); для нестрогих неравенств всё так же, только знаки нестрогие. Если \(a \leqslant 0\), то неравенство \(|f(x)| < a\) решений не имеет: модуль не может быть меньше неположительного числа. Если \(a < 0\), то неравенство \(|f(x)| > a\) верно при всех \(x\), а при \(a = 0\) оно означает, что \(f(x) \ne 0\). Например, неравенство \(|2x - 3| \leqslant 5\) равносильно двойному неравенству \(-5 \leqslant 2x - 3 \leqslant 5\); прибавив ко всем частям 3 и разделив их на 2, получим \(-1 \leqslant x \leqslant 4\), то есть отрезок \([-1; 4]\). А неравенство \(|2x - 3| > 5\) выполняется, когда \(2x - 3 < -5\) или \(2x - 3 > 5\), то есть при \(x < -1\) или \(x > 4\); его множество решений — \((-\infty; -1) \cup (4; +\infty)\).

3. Квадратный трёхчлен под знаком модуля. Неравенство \(|x^2 - 5x| < 6\) равносильно двойному неравенству \(-6 < x^2 - 5x < 6\), то есть одновременно должны выполняться два квадратных неравенства: \(x^2 - 5x + 6 > 0\) и \(x^2 - 5x - 6 < 0\). Корни первого трёхчлена — 2 и 3, ветви его параболы направлены вверх, поэтому первое неравенство верно при \(x < 2\) и при \(x > 3\). Корни второго трёхчлена — \(-1\) и 6, поэтому второе неравенство верно при \(-1 < x < 6\). Решения исходного неравенства — общие решения обоих неравенств, то есть пересечение их множеств решений: \((-1; 2) \cup (3; 6)\). Проверка: при \(x = 1\) получаем \(|-4| < 6\) — верно, а при \(x = 2{,}5\) получаем \(|-6{,}25| < 6\) — неверно.

4. Неравенства вида \(|f(x)| < |g(x)|\). Обе части такого неравенства неотрицательны, а для неотрицательных чисел \(u\) и \(v\) неравенства \(u < v\) и \(u^2 < v^2\) равносильны. Действительно, \(u^2 - v^2 = (u - v)(u + v)\); если \(u\) и \(v\) не равны нулю одновременно, то \(u + v > 0\), и разности \(u^2 - v^2\) и \(u - v\) имеют один и тот же знак, а если \(u = v = 0\), то оба неравенства неверны. Поэтому обе части неравенства можно возвести в квадрат; квадрат модуля числа равен квадрату самого числа, и получается неравенство \((f(x))^2 - (g(x))^2 < 0\), то есть \((f(x) - g(x))(f(x) + g(x)) < 0\). Например, неравенство \(|x - 3| < |2x + 1|\) равносильно неравенству \((x - 3)^2 - (2x + 1)^2 < 0\), то есть \((x - 3 - 2x - 1)(x - 3 + 2x + 1) < 0\), или \((-x - 4)(3x - 2) < 0\). Умножив обе части на \(-1\) и изменив знак неравенства на противоположный, получим \((x + 4)(3x - 2) > 0\). Корни левой части — \(-4\) и \(\frac{2}{3}\); правее большего корня произведение положительно, а при переходе через каждый корень его знак меняется, поэтому множество решений — \((-\infty; -4) \cup \left(\frac{2}{3}; +\infty\right)\).

5. Неравенства с несколькими модулями. Если модулей несколько, числовую прямую разбивают нулями подмодульных выражений на промежутки, на каждом из которых все модули раскрываются однозначно, и решают неравенство на каждом промежутке. Для неравенства \(|x + 1| + |x - 3| \leqslant 6\) это числа \(-1\) и 3.
- При \(x < -1\): \(-(x + 1) - (x - 3) \leqslant 6\);
\(-2x + 2 \leqslant 6\);
\(-2x \leqslant 4\), откуда после деления обеих частей на \(-2\) со сменой знака неравенства на противоположный \(x \geqslant -2\); с учётом условия \(x < -1\) получаем \(-2 \leqslant x < -1\).
- При \(-1 \leqslant x \leqslant 3\): \((x + 1) - (x - 3) = 4\), и неравенство \(4 \leqslant 6\) верно при всех таких \(x\).
- При \(x > 3\): \((x + 1) + (x - 3) \leqslant 6\);
\(2x - 2 \leqslant 6\);
\(2x \leqslant 8\);
\(x \leqslant 4\); с учётом условия \(x > 3\) получаем \(3 < x \leqslant 4\).

Объединив найденные множества, получаем отрезок \([-2; 4]\). Геометрическая проверка: сумма расстояний от точки \(x\) до точек \(-1\) и 3 равна 4 во всех точках отрезка \([-1; 3]\) и растёт при удалении от него, а значение 6 принимает в точках \(-2\) и 4.

Резюме: Таким образом, неравенства с неизвестным под знаком модуля решают, сводя их к неравенствам без модуля: неравенства \(|f(x)| < a\) и \(|f(x)| > a\) по определению модуля — к двойному неравенству или к двум неравенствам, связанным словом «или», неравенство \(|f(x)| < |g(x)|\) возведением в квадрат обеих неотрицательных частей — к неравенству \((f(x) - g(x))(f(x) + g(x)) < 0\), которое решают методом интервалов, а неравенства с несколькими модулями — раскрытием модулей на промежутках между нулями подмодульных выражений. Главное при этом — помнить, что модуль неотрицателен, учитывать знак числа \(a\) и не терять условий, задающих каждый промежуток.