Контрольные вопросы и задания на странице 43, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень

Функцией называется зависимость одной переменной от другой, при которой каждому значению независимой переменной (аргумента) соответствует единственное значение зависимой переменной. Аргумент обычно обозначают буквой \(x\), зависимую переменную — буквой \(y\) и пишут \(y = f(x)\).

Главное в определении — слово «единственное»: одному значению аргумента не могут соответствовать два разных значения зависимой переменной. А вот разным значениям аргумента может соответствовать одно и то же значение функции.

Например, формула \(y = x^2 - 2x\) задаёт функцию: при любом \(x\) значение выражения \(x^2 - 2x\) находится однозначно, скажем, при \(x = 3\) получаем \(y = 9 - 6 = 3\). Значение \(y = 0\) эта функция принимает при двух значениях аргумента, \(x = 0\) и \(x = 2\), — определению это не противоречит.

Зависимость \(y\) от \(x\), заданная равенством \(x = y^2\), функцией не является: значению \(x = 4\) соответствуют два значения \(y\), числа \(-2\) и 2, так как \((-2)^2 = 4\) и \(2^2 = 4\).

Ответ: функцией называется зависимость одной переменной от другой, при которой каждому значению независимой переменной (аргумента) соответствует единственное значение зависимой переменной; например, формула \(y = x^2 - 2x\) задаёт функцию, а равенство \(x = y^2\) не задаёт \(y\) как функцию от \(x\): значению \(x = 4\) соответствуют \(y = -2\) и \(y = 2\).

Областью определения функции называется множество всех значений, которые может принимать независимая переменная (аргумент). Область определения функции \(f\) обозначают \(D(f)\). Если функция задана формулой \(y = f(x)\) и других условий нет, то её область определения — множество всех значений \(x\), при которых выражение \(f(x)\) имеет смысл.

Для функций, заданных дробями и корнями, ограничения такие: знаменатель дроби не равен нулю, а выражение под знаком квадратного корня неотрицательно. Если корень стоит в знаменателе, выражение под ним должно быть положительным: неотрицательным и не равным нулю, так как арифметический квадратный корень равен нулю только тогда, когда подкоренное выражение равно нулю.

Примеры:
- \(f(x) = 3x^2 - x + 7\): выражение имеет смысл при любом \(x\), поэтому \(D(f) = (-\infty; +\infty)\);
- \(g(x) = \frac{5}{x + 2}\): \(x + 2 \ne 0\), то есть \(x \ne -2\), поэтому \(D(g) = (-\infty; -2) \cup (-2; +\infty)\);
- \(h(x) = \sqrt{8 - 2x}\): \(8 - 2x \geqslant 0\), откуда \(2x \leqslant 8\) и \(x \leqslant 4\), поэтому \(D(h) = (-\infty; 4]\);
- \(q(x) = \frac{1}{\sqrt{x - 1}}\): корень стоит в знаменателе, поэтому \(x - 1 > 0\), то есть \(x > 1\), и \(D(q) = (1; +\infty)\).

Область определения может сужаться и по смыслу задачи. Площадь квадрата со стороной \(a\) равна \(S = a^2\); выражение \(a^2\) имеет смысл при любом \(a\), но длина стороны положительна, поэтому область определения этой функции — \((0; +\infty)\).

Ответ: областью определения функции называется множество всех значений, которые может принимать её аргумент; у функции, заданной формулой \(y = f(x)\) без других условий, это множество всех значений \(x\), при которых выражение \(f(x)\) имеет смысл; например, \(D(g) = (-\infty; -2) \cup (-2; +\infty)\) у функции \(g(x) = \frac{5}{x + 2}\) и \(D(h) = (-\infty; 4]\) у функции \(h(x) = \sqrt{8 - 2x}\).

Множеством значений функции называется множество всех значений, которые принимает зависимая переменная хотя бы при одном значении аргумента. Множество значений функции \(f\) обозначают \(E(f)\).

Значит, число \(u\) входит в множество значений функции \(f\) тогда и только тогда, когда уравнение \(f(x) = u\) имеет хотя бы один корень. Поэтому множество значений не определяют по нескольким вычисленным значениям: нужно выяснить, какими могут быть значения функции, и доказать, что каждое такое число действительно является её значением.

Примеры:
- \(f(x) = x^2 - 4\). Так как \(x^2 \geqslant 0\), то \(f(x) \geqslant -4\) при любом \(x\). Каждое число \(u \geqslant -4\) функция принимает при \(x = \sqrt{u + 4}\) (корень определён, так как \(u + 4 \geqslant 0\)): \(\left(\sqrt{u + 4}\right)^2 - 4 = u + 4 - 4 = u\). Следовательно, \(E(f) = [-4; +\infty)\).
- \(g(x) = 5 - 2x\). Любое число \(u\) функция принимает при \(x = \frac{5 - u}{2}\): \(5 - 2 \cdot \frac{5 - u}{2} = 5 - (5 - u) = u\). Следовательно, \(E(g) = (-\infty; +\infty)\).
- \(h(x) = \frac{3}{x}\). Дробь с числителем 3 не равна нулю, поэтому значение 0 функция не принимает, а любое число \(u \ne 0\) принимает при \(x = \frac{3}{u}\): \(3 : \frac{3}{u} = 3 \cdot \frac{u}{3} = u\). Следовательно, \(E(h) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)\).

Ответ: множеством значений функции называется множество всех значений, которые принимает зависимая переменная хотя бы при одном значении аргумента; например, \(E(f) = [-4; +\infty)\) у функции \(f(x) = x^2 - 4\), \(E(g) = (-\infty; +\infty)\) у функции \(g(x) = 5 - 2x\) и \(E(h) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)\) у функции \(h(x) = \frac{3}{x}\).

Линейной функцией называется функция вида \(y = kx + b\), где \(x\) — независимая переменная, а \(k\) и \(b\) — любые числа (каждое из них может быть и нулём).

Графиком линейной функции является прямая. Число \(b\) — ордината точки пересечения этой прямой с осью \(y\): при \(x = 0\) получаем \(y = k \cdot 0 + b = b\). Число \(k\) — угловой коэффициент прямой: при \(k > 0\) функция возрастает, при \(k < 0\) убывает, а при \(k = 0\) она постоянна (\(y = b\) при любом \(x\)), и её график — прямая, параллельная оси \(x\) (при \(b = 0\) — сама ось \(x\)). Прямая \(x = c\), параллельная оси \(y\) (при \(c = 0\) — сама ось \(y\)), графиком функции не является: значению \(x = c\) на ней соответствует бесконечно много значений \(y\).

Прямая однозначно определяется двумя своими точками. Поэтому, чтобы построить график линейной функции, подставляют в формулу два различных значения \(x\), вычисляют соответствующие значения \(y\), отмечают полученные точки на координатной плоскости и проводят через них прямую. Построим так графики трёх функций.

- \(y = 2x - 3\). Пусть \(x = 0\), тогда \(y = 2 \cdot 0 - 3 = -3\); пусть \(x = 2\), тогда \(y = 2 \cdot 2 - 3 = 1\). Прямая проходит через точки \((0; -3)\) и \((2; 1)\); \(k = 2 > 0\), функция возрастает.
- \(y = -\frac{1}{2}x + 1\). Возьмём чётные значения \(x\), чтобы значения \(y\) получились целыми. Пусть \(x = 0\), тогда \(y = 1\); пусть \(x = 4\), тогда \(y = -\frac{1}{2} \cdot 4 + 1 = -1\). Прямая проходит через точки \((0; 1)\) и \((4; -1)\); \(k = -\frac{1}{2} < 0\), функция убывает.
- \(y = 3\), здесь \(k = 0\) и \(b = 3\). При любом \(x\) значение \(y\) равно 3, поэтому прямая проходит, например, через точки \((0; 3)\) и \((2; 3)\) и параллельна оси \(x\).

Ответ: линейной функцией называется функция вида \(y = kx + b\), где \(k\) и \(b\) — любые числа; её график — прямая, и, чтобы его построить, достаточно найти две его точки: например, прямая \(y = 2x - 3\) проходит через точки \((0; -3)\) и \((2; 1)\), прямая \(y = -\frac{1}{2}x + 1\) — через точки \((0; 1)\) и \((4; -1)\), а прямая \(y = 3\) проходит через точку \((0; 3)\) параллельно оси \(x\).

Обратной пропорциональностью называется функция вида \(y = \frac{k}{x}\), где \(x\) — независимая переменная, а \(k\) — число, не равное нулю; это число называют коэффициентом обратной пропорциональности. Условие \(k \ne 0\) существенно: при \(k = 0\) формула дала бы \(y = 0\) при всех \(x \ne 0\).

Графиком обратной пропорциональности является гипербола — кривая, состоящая из двух ветвей. При её построении используют свойства функции \(f(x) = \frac{k}{x}\):
- функция определена при всех \(x \ne 0\) и не принимает значение 0, поэтому гипербола не пересекает оси координат; при удалении от начала координат точки гиперболы сколь угодно близко приближаются к осям — оси координат являются асимптотами гиперболы;
- при \(k > 0\) значения \(x\) и \(y\) имеют одинаковые знаки, и ветви лежат в I и III координатных четвертях, а при \(k < 0\) — разные знаки, и ветви лежат во II и IV четвертях;
- область определения симметрична относительно нуля и \(f(-x) = \frac{k}{-x} = -\frac{k}{x} = -f(x)\) при любом \(x \ne 0\), поэтому функция нечётная и гипербола симметрична относительно начала координат.

Поэтому достаточно составить таблицу значений функции для нескольких положительных \(x\), провести через полученные точки одну ветвь, а вторую построить симметрично ей относительно начала координат.

Первый пример — функция \(y = \frac{6}{x}\), у которой \(k = 6 > 0\). Составим таблицу её значений: \[\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline x & 1 & 2 & 3 & 6 \\ \hline y & 6 & 3 & 2 & 1 \\ \hline \end{array}\] Через точки \((1; 6)\), \((2; 3)\), \((3; 2)\), \((6; 1)\) проведём ветвь в I четверти. Вторая ветвь лежит в III четверти и проходит через симметричные им точки \((-1; -6)\), \((-2; -3)\), \((-3; -2)\), \((-6; -1)\).

Второй пример — функция \(y = -\frac{4}{x}\), у которой \(k = -4 < 0\). Таблица её значений: \[\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline x & 1 & 2 & 4 \\ \hline y & -4 & -2 & -1 \\ \hline \end{array}\] Ветвь, проходящая через точки \((1; -4)\), \((2; -2)\), \((4; -1)\), лежит в IV четверти, а симметричная ей относительно начала координат ветвь проходит через точки \((-1; 4)\), \((-2; 2)\), \((-4; 1)\) и лежит во II четверти.

Ответ: обратной пропорциональностью называется функция вида \(y = \frac{k}{x}\), где \(k\) — число, не равное нулю; её график — гипербола, ветви которой лежат в I и III координатных четвертях при \(k > 0\) и во II и IV четвертях при \(k < 0\), а оси координат являются её асимптотами; например, гипербола \(y = \frac{6}{x}\) проходит через точки \((1; 6)\), \((2; 3)\), \((3; 2)\), \((6; 1)\) и симметричные им относительно начала координат, а гипербола \(y = -\frac{4}{x}\) — через точки \((1; -4)\), \((2; -2)\), \((4; -1)\) и симметричные им.

Квадратичной функцией называется функция вида \(y = ax^2 + bx + c\), где \(a\), \(b\), \(c\) — числа, причём \(a \ne 0\), а \(x\) — независимая переменная. Коэффициенты \(b\) и \(c\) могут быть равны нулю: например, \(y = 4x^2\), \(y = x^2 - 7\) и \(y = -\frac{1}{3}x^2 + x\) — квадратичные функции. Условие \(a \ne 0\) существенно: при \(a = 0\) формула задаёт линейную функцию \(y = bx + c\); так, \(y = 0 \cdot x^2 + 2x - 1\) — это линейная функция \(y = 2x - 1\).

Графиком квадратичной функции является парабола. Выделив полный квадрат, формулу любой квадратичной функции можно записать в виде \(y = a(x - m)^2 + n\). Поэтому её график получается из параболы \(y = ax^2\) сдвигом на \(|m|\) единиц вдоль оси \(x\) (вправо при \(m > 0\), влево при \(m < 0\)) и на \(|n|\) единиц вдоль оси \(y\) (вверх при \(n > 0\), вниз при \(n < 0\)). Сама парабола \(y = ax^2\) получается при \(a > 0\) из параболы \(y = x^2\), а при \(a < 0\) — из параболы \(y = -x^2\) растяжением вдоль оси ординат, если \(|a| > 1\), или сжатием вдоль оси ординат, если \(|a| < 1\). Вершина параболы \(y = a(x - m)^2 + n\) — точка \((m; n)\); при \(a > 0\) ветви параболы направлены вверх, при \(a < 0\) — вниз.

Например, \(2x^2 - 8x + 5 = 2(x^2 - 4x + 4) - 8 + 5 = 2(x - 2)^2 - 3\). Поэтому график функции \(y = 2x^2 - 8x + 5\) — это парабола \(y = 2x^2\), сдвинутая на 2 единицы вправо и на 3 единицы вниз; её вершина — точка \((2; -3)\), а ветви направлены вверх, так как \(a = 2 > 0\).

Ответ: квадратичной функцией называется функция вида \(y = ax^2 + bx + c\), где \(a\), \(b\), \(c\) — числа, причём \(a \ne 0\); её график — парабола, ветви которой направлены вверх при \(a > 0\) и вниз при \(a < 0\); например, график функции \(y = 2x^2 - 8x + 5 = 2(x - 2)^2 - 3\) — парабола с вершиной \((2; -3)\) и ветвями, направленными вверх.

Пусть парабола — график функции \(y = ax^2 + bx + c\), где \(a \ne 0\). Абсциссу её вершины находят по формуле \(x_0 = -\frac{b}{2a}\), а ординату — подстановкой \(x_0\) в формулу функции: \(y_0 = ax_0^2 + bx_0 + c\). Ординату можно найти и по формуле \(y_0 = \frac{4ac - b^2}{4a}\). Обе формулы получаются выделением полного квадрата: \[ax^2 + bx + c = a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 + \frac{4ac - b^2}{4a}.\] Если функция записана в виде \(y = a(x - m)^2 + n\), то вершина параболы — точка \((m; n)\): при \(a > 0\) значение выражения \(a(x - m)^2 + n\) не меньше \(n\), при \(a < 0\) — не больше \(n\), а равно \(n\) оно только при \(x = m\).

Абсциссу вершины можно найти и по нулям функции. Ось симметрии параболы — прямая \(x = x_0\), поэтому, если парабола пересекает ось \(x\) в двух точках \((x_1; 0)\) и \((x_2; 0)\), то абсцисса вершины — середина отрезка между ними: \(x_0 = \frac{x_1 + x_2}{2}\).

Найдём, например, вершину параболы \(y = 3x^2 - 12x + 7\): \[\begin{aligned} x_0 &= -\frac{-12}{2 \cdot 3} = 2; \\ y_0 &= 3 \cdot 2^2 - 12 \cdot 2 + 7 = 12 - 24 + 7 = -5. \end{aligned}\] Проверка по второй формуле: \(y_0 = \frac{4 \cdot 3 \cdot 7 - (-12)^2}{4 \cdot 3} = \frac{84 - 144}{12} = -5\). Выделение полного квадрата даёт то же: \(3x^2 - 12x + 7 = 3(x^2 - 4x + 4) - 12 + 7 = 3(x - 2)^2 - 5\). Вершина — точка \((2; -5)\).

У функции \(y = 2(x + 1)(x - 5)\) нули \(-1\) и 5 видны из формулы, поэтому \(x_0 = \frac{-1 + 5}{2} = 2\) и \(y_0 = 2 \cdot (2 + 1) \cdot (2 - 5) = -18\); вершина — точка \((2; -18)\).

Ответ: у параболы \(y = ax^2 + bx + c\) абсцисса вершины равна \(x_0 = -\frac{b}{2a}\), а ордината \(y_0\) находится подстановкой \(x_0\) в формулу функции или по формуле \(y_0 = \frac{4ac - b^2}{4a}\); если функция записана в виде \(y = a(x - m)^2 + n\), то вершина — точка \((m; n)\), а если известны два нуля \(x_1\) и \(x_2\), то \(x_0 = \frac{x_1 + x_2}{2}\); например, вершина параболы \(y = 3x^2 - 12x + 7\) — точка \((2; -5)\).

Нулями функции называются значения аргумента, при которых значение функции равно нулю. Нули квадратичной функции \(y = ax^2 + bx + c\) — это корни уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\), то есть корни квадратного трёхчлена \(ax^2 + bx + c\). Нули — это числа, а не точки: нулю \(x_1\) соответствует точка \((x_1; 0)\), в которой парабола пересекает ось \(x\) или касается её.

Число нулей зависит от знака дискриминанта \(D = b^2 - 4ac\):
- если \(D > 0\), то нулей два, \(\frac{-b - \sqrt{D}}{2a}\) и \(\frac{-b + \sqrt{D}}{2a}\), и парабола пересекает ось \(x\) в двух точках;
- если \(D = 0\), то нуль один, \(-\frac{b}{2a}\), — это абсцисса вершины, и парабола касается оси \(x\) в своей вершине;
- если \(D < 0\), то нулей нет, и парабола не пересекает ось \(x\).

Примеры:
- у функции \(y = x^2 - x - 6\) дискриминант \(D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 25 > 0\) и нули \(\frac{1 - 5}{2} = -2\) и \(\frac{1 + 5}{2} = 3\); парабола пересекает ось \(x\) в точках \((-2; 0)\) и \((3; 0)\);
- у функции \(y = 4x^2 - 12x + 9\) дискриминант \(D = (-12)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 9 = 0\) и единственный нуль \(\frac{12}{2 \cdot 4} = 1{,}5\) (действительно, \(4x^2 - 12x + 9 = (2x - 3)^2\)); парабола касается оси \(x\) в точке \((1{,}5; 0)\);
- у функции \(y = x^2 + 2x + 7\) дискриминант \(D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = -24 < 0\), нулей нет; парабола не пересекает ось \(x\).

Ответ: нули квадратичной функции \(y = ax^2 + bx + c\) — это значения аргумента, при которых значение функции равно нулю, то есть корни квадратного трёхчлена \(ax^2 + bx + c\); при \(D > 0\) их два, при \(D = 0\) — один, при \(D < 0\) нулей нет; например, нули функции \(y = x^2 - x - 6\) — числа \(-2\) и 3, функция \(y = 4x^2 - 12x + 9\) имеет один нуль \(1{,}5\), а функция \(y = x^2 + 2x + 7\) нулей не имеет.

Ключевые точки параболы \(y = ax^2 + bx + c\) — это её вершина и точки пересечения с осями координат. Для точности к ним обычно добавляют точку \((2x_0; c)\), симметричную точке \((0; c)\) относительно оси параболы \(x = x_0\).

Построим по ключевым точкам график функции \(y = x^2 - 2x - 8\). Коэффициент при \(x^2\) равен \(1 > 0\), поэтому ветви параболы направлены вверх. Найдём координаты вершины: \[\begin{aligned} x_0 &= -\frac{-2}{2 \cdot 1} = 1; \\ y_0 &= 1^2 - 2 \cdot 1 - 8 = -9. \end{aligned}\] Вершина параболы — точка \((1; -9)\).

Найдём точки пересечения параболы с осью \(x\). Их абсциссы — корни уравнения \(x^2 - 2x - 8 = 0\): \[\begin{aligned} D &= (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 36; \\ x_1 &= \frac{2 - \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{2 - 6}{2} = -2; \\ x_2 &= \frac{2 + \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 6}{2} = 4. \end{aligned}\] Значит, парабола пересекает ось \(x\) в точках \((-2; 0)\) и \((4; 0)\).

Ордината точки пересечения параболы с осью \(y\) равна свободному члену, поэтому эта точка — \((0; -8)\). Симметричная ей относительно оси параболы \(x = 1\) точка — \((2; -8)\).

Проверим вычисления: ветви направлены вверх, а абсцисса вершины лежит посередине между нулями функции: \(\frac{-2 + 4}{2} = 1\). Отметим найденные точки и проведём через них параболу.

Ответ: ключевые точки параболы \(y = x^2 - 2x - 8\) — вершина \((1; -9)\) и точки пересечения с осями координат \((-2; 0)\), \((4; 0)\) и \((0; -8)\); через них и точку \((2; -8)\), симметричную точке \((0; -8)\) относительно оси параболы \(x = 1\), проходит парабола с ветвями, направленными вверх.

Исследованием функции называется определение её основных характеристик и свойств. Функцию исследуют по плану: область определения; множество значений; чётность; точки пересечения графика с осью \(y\); нули функции; промежутки знакопостоянства; промежутки возрастания и убывания; наибольшее и наименьшее значения; асимптоты.

Для квадратичной функции \(f(x) = ax^2 + bx + c\) с вершиной параболы \((x_0; y_0)\) пункты плана выполняются так:
- \(D(f) = (-\infty; +\infty)\), так как выражение \(ax^2 + bx + c\) имеет смысл при любом \(x\);
- \(E(f) = [y_0; +\infty)\) при \(a > 0\) и \(E(f) = (-\infty; y_0]\) при \(a < 0\);
- если \(b = 0\), функция чётная: \(f(-x) = a(-x)^2 + c = ax^2 + c = f(x)\) при любом \(x\); если \(b \ne 0\), функция не чётная, так как значения \(f(1) = a + b + c\) и \(f(-1) = a - b + c\) различаются на \(2b \ne 0\); нечётной квадратичная функция не бывает: при \(x = 0\) она определена, и для нечётной функции было бы \(f(0) = -f(0)\), откуда \(c = 0\), но тогда \(f(1) + f(-1) = 2a \ne 0\);
- график пересекает ось \(y\) в точке \((0; c)\);
- нули функции — корни квадратного трёхчлена \(ax^2 + bx + c\): их два, один или ни одного в зависимости от знака дискриминанта;
- если нули \(x_1 < x_2\) и \(a > 0\), то \(f(x) > 0\) при \(x \in (-\infty; x_1) \cup (x_2; +\infty)\) и \(f(x) < 0\) при \(x \in (x_1; x_2)\), а при \(a < 0\) знаки противоположные; если нулей нет, то значения функции при всех \(x\) имеют знак коэффициента \(a\), а если нуль один — при всех \(x\), кроме него;
- при \(a > 0\) функция убывает на промежутке \((-\infty; x_0]\) и возрастает на промежутке \([x_0; +\infty)\), а при \(a < 0\) возрастает на \((-\infty; x_0]\) и убывает на \([x_0; +\infty)\);
- при \(a > 0\) наименьшее значение функции равно \(y_0\), а наибольшего нет; при \(a < 0\) наибольшее значение равно \(y_0\), а наименьшего нет;
- асимптот у параболы нет.

Исследуем функцию \(f(x) = -2x^2 + 8x - 6\). Коэффициент при \(x^2\) отрицательный, поэтому ветви параболы направлены вниз. Найдём координаты вершины параболы: \[\begin{aligned} x_0 &= -\frac{8}{2 \cdot (-2)} = 2; \\ y_0 &= f(2) = -2 \cdot 2^2 + 8 \cdot 2 - 6 = 2. \end{aligned}\] Найдём нули функции. Разделим обе части уравнения \(-2x^2 + 8x - 6 = 0\) на \(-2\): \[\begin{aligned} -2x^2 + 8x - 6 &= 0; \qquad | : (-2) \\ x^2 - 4x + 3 &= 0; \\ D &= (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 4. \end{aligned}\] Корни уравнения: \(\frac{4 - 2}{2} = 1\) и \(\frac{4 + 2}{2} = 3\). Значит, парабола пересекает ось \(x\) в точках \((1; 0)\) и \((3; 0)\), а абсцисса вершины 2 лежит посередине между ними. Кроме того, \(f(0) = -6\), а точка \((4; -6)\) симметрична точке \((0; -6)\) относительно прямой \(x = 2\). Построим график функции.

Перечислим основные свойства функции по плану.
- \(D(f) = (-\infty; +\infty)\).
- Коэффициент при \(x^2\) отрицательный, поэтому \(E(f) = (-\infty; 2]\).
- \(f(-1) = -2 - 8 - 6 = -16\) и \(f(1) = -2 + 8 - 6 = 0\), то есть \(f(-1) \ne f(1)\) и \(f(-1) \ne -f(1)\); значит, функция не является ни чётной, ни нечётной.
- \(f(0) = -6\), поэтому график пересекает ось \(y\) в точке \((0; -6)\).
- Нули функции — числа 1 и 3: парабола пересекает ось \(x\) в точках \((1; 0)\) и \((3; 0)\).
- Коэффициент при \(x^2\) отрицательный, поэтому \(f(x) > 0\) при \(x \in (1; 3)\) и \(f(x) < 0\) при \(x \in (-\infty; 1) \cup (3; +\infty)\).
- Функция возрастает на промежутке \((-\infty; 2]\) и убывает на промежутке \([2; +\infty)\).
- Наибольшее значение функции равно 2, оно достигается при \(x = 2\); наименьшего значения у функции нет.
- Асимптот у графика нет.

Ответ: к исследованию квадратичной функции относится указание её области определения, множества значений, чётности, точки пересечения графика с осью \(y\), нулей, промежутков знакопостоянства, промежутков возрастания и убывания, наибольшего и наименьшего значений и асимптот (у параболы асимптот нет); например, у функции \(f(x) = -2x^2 + 8x - 6\): \(D(f) = (-\infty; +\infty)\); \(E(f) = (-\infty; 2]\); функция ни чётная, ни нечётная; график пересекает ось \(y\) в точке \((0; -6)\); нули 1 и 3; \(f(x) > 0\) при \(x \in (1; 3)\), \(f(x) < 0\) при \(x \in (-\infty; 1) \cup (3; +\infty)\); возрастает на \((-\infty; 2]\), убывает на \([2; +\infty)\); наибольшее значение 2, наименьшего нет.