Контрольные вопросы и задания на странице 142, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень

Числовой последовательностью называют набор чисел, для которых указан порядок их следования: каждому числу набора приписан порядковый номер — натуральное число, причём любые два числа набора, даже равные, имеют разные номера. Последовательность можно рассматривать как функцию, определённую на множестве натуральных чисел: номеру \(n\) она ставит в соответствие член последовательности \(a_n\). Всю последовательность обозначают \((a_n)\).

Пример 1. Квадраты натуральных чисел, расположенные в порядке возрастания, образуют последовательность, заданную формулой \(a_n = n^2\): \(a_1 = 1\), \(a_2 = 4\), \(a_3 = 9\), \(a_4 = 16\), \(a_5 = 25\). Число 49 — член этой последовательности с номером 7, так как \(7^2 = 49\). Число 50 её членом не является: номер члена — натуральное число, а при \(n \leqslant 7\) получаем \(n^2 \leqslant 49\), при \(n \geqslant 8\) — \(n^2 \geqslant 64\), поэтому равенство \(n^2 = 50\) не выполняется ни при каком натуральном \(n\).

Пример 2. Цифры десятичной записи дроби \(\frac{1}{7} = 0{,}142857142857\ldots\), взятые по порядку после запятой, образуют последовательность \(1\); \(4\); \(2\); \(8\); \(5\); \(7\); \(1\); \(4\); … Она задана описанием, и по нему можно найти любой её член: цифры повторяются группами по шесть, поэтому, например, \(a_{100} = a_4 = 8\), так как \(100 = 6 \cdot 16 + 4\). Равные числа в этой последовательности имеют разные номера: \(a_1 = a_7 = 1\).

Ответ: числовой последовательностью называют набор чисел, каждому из которых приписан порядковый номер — натуральное число, причём любые два числа набора, даже равные, имеют разные номера (последовательность можно рассматривать как функцию, определённую на множестве натуральных чисел); например, последовательность квадратов натуральных чисел \(a_n = n^2\): \(1\); \(4\); \(9\); \(16\); …, и последовательность цифр десятичной записи дроби \(\frac{1}{7}\): \(1\); \(4\); \(2\); \(8\); \(5\); \(7\); \(1\); …

Рекуррентным называют способ задания последовательности, при котором указывают один или несколько первых её членов и формулу, позволяющую вычислить любой из остальных членов через предыдущие. Формула без первых членов последовательность не задаёт: одной и той же формуле могут удовлетворять разные последовательности.

Пример 1. Пусть \(a_1 = 2\), \(a_{n+1} = 3a_n\), то есть каждый член, начиная со второго, в 3 раза больше предыдущего. Тогда \[\begin{aligned} a_2 &= 3a_1 = 3 \cdot 2 = 6; \\ a_3 &= 3a_2 = 3 \cdot 6 = 18; \\ a_4 &= 3a_3 = 3 \cdot 18 = 54. \end{aligned}\] Если же \(a_1 = 1\), та же формула \(a_{n+1} = 3a_n\) даёт другую последовательность: \(1\); \(3\); \(9\); \(27\); … Поэтому без первого члена формула \(a_{n+1} = 3a_n\) последовательность не задаёт.

Пример 2. Пусть \(b_1 = 2\), \(b_2 = 1\), \(b_{n+2} = b_{n+1} + b_n\), то есть каждый член, начиная с третьего, равен сумме двух предыдущих. Формула выражает член через два предыдущих, поэтому заданы два первых члена: \[\begin{aligned} b_3 &= b_2 + b_1 = 1 + 2 = 3; \\ b_4 &= b_3 + b_2 = 3 + 1 = 4; \\ b_5 &= b_4 + b_3 = 4 + 3 = 7; \\ b_6 &= b_5 + b_4 = 7 + 4 = 11. \end{aligned}\]

Ответ: рекуррентным называют способ задания последовательности, при котором указывают один или несколько первых её членов и формулу, позволяющую вычислить любой из остальных членов через предыдущие; например, \(a_1 = 2\), \(a_{n+1} = 3a_n\) (последовательность \(2\); \(6\); \(18\); \(54\); …) и \(b_1 = 2\), \(b_2 = 1\), \(b_{n+2} = b_{n+1} + b_n\) (последовательность \(2\); \(1\); \(3\); \(4\); \(7\); \(11\); …).

Числовую последовательность \((a_n)\) называют возрастающей, если каждый её член, начиная со второго, больше предыдущего, то есть \(a_{n+1} > a_n\) для любого натурального \(n\). Неравенство должно выполняться при всех натуральных \(n\), поэтому возрастание доказывают для любого \(n\) — например, показывают, что разность \(a_{n+1} - a_n\) положительна при любом натуральном \(n\); проверка нескольких первых членов доказательством не является.

Пример. Последовательность \(a_n = 3n + 1\) возрастающая. Подставим \(n + 1\) вместо \(n\) в формулу \(n\)-го члена: \(a_{n+1} = 3(n + 1) + 1 = 3n + 4\). Следовательно, \(a_{n+1} - a_n = (3n + 4) - (3n + 1) = 3 > 0\) при любом натуральном \(n\).

У последовательности \(c_n = 10n - n^2\) первые пять членов идут по возрастанию: \(9\); \(16\); \(21\); \(24\); \(25\). Но \(c_6 = 60 - 36 = 24\), то есть \(c_6 < c_5\), поэтому возрастающей эта последовательность не является.

Ответ: возрастающей называют числовую последовательность \((a_n)\), каждый член которой, начиная со второго, больше предыдущего, то есть \(a_{n+1} > a_n\) для любого натурального \(n\); например, последовательность \(a_n = 3n + 1\) возрастающая, так как \(a_{n+1} - a_n = 3 > 0\) при любом натуральном \(n\).

Последовательность \((a_n)\) называют возрастающей, если \(a_{n+1} > a_n\) для любого натурального \(n\), и убывающей, если \(a_{n+1} < a_n\) для любого натурального \(n\). Значит, последовательность не является возрастающей, если хотя бы при одном \(n\) выполняется неравенство \(a_{n+1} \leqslant a_n\), и не является убывающей, если хотя бы при одном \(n\) выполняется неравенство \(a_{n+1} \geqslant a_n\).

Пример 1. \(a_n = (-1)^n\), то есть \(-1\); \(1\); \(-1\); \(1\); … Здесь \(a_2 > a_1\), поэтому последовательность не является убывающей, и \(a_3 < a_2\), поэтому она не является возрастающей.

Пример 2. \(5\); \(5\); \(5\); … — последовательность, все члены которой равны 5. Так как \(a_2 = a_1\), не выполняется ни неравенство \(a_2 > a_1\), ни неравенство \(a_2 < a_1\), поэтому последовательность не является ни возрастающей, ни убывающей.

Ответ: например, последовательность \(a_n = (-1)^n\), то есть \(-1\); \(1\); \(-1\); \(1\); …, — она не является убывающей, так как \(a_2 > a_1\), и не является возрастающей, так как \(a_3 < a_2\); ни возрастающей, ни убывающей не является и последовательность \(5\); \(5\); \(5\); …

Числовую последовательность \((a_n)\) называют ограниченной снизу, если существует такое число \(m\), что \(a_n \geqslant m\) для любого натурального \(n\), то есть каждый её член не меньше одного и того же числа \(m\).

Пример 1. \(a_n = (n - 3)^2 + 1\). Квадрат любого числа неотрицателен, поэтому \((n - 3)^2 \geqslant 0\) и \(a_n \geqslant 1\) при любом натуральном \(n\): последовательность ограничена снизу числом 1. При \(n = 3\) получаем \(a_3 = 1\), так что \(a_3\) — наименьший член последовательности.

Пример 2. \(b_n = \frac{1}{n}\), то есть \(1\); \(\frac{1}{2}\); \(\frac{1}{3}\); \(\frac{1}{4}\); … При любом натуральном \(n\) дробь \(\frac{1}{n}\) положительна, поэтому \(b_n > 0\) и последовательность ограничена снизу, например нулём, хотя ни один её член нулю не равен.

Любая возрастающая последовательность ограничена снизу своим первым членом: каждый её член не меньше \(a_1\).

Ответ: ограниченной снизу называют числовую последовательность \((a_n)\), для которой существует такое число \(m\), что \(a_n \geqslant m\) для любого натурального \(n\); например, последовательность \(a_n = (n - 3)^2 + 1\) ограничена снизу числом \(1\), а последовательность \(b_n = \frac{1}{n}\) — числом \(0\).

Последовательность \((a_n)\) ограничена, если существуют такие числа \(m\) и \(M\), что \(m \leqslant a_n \leqslant M\) для любого натурального \(n\). Неограниченная последовательность — это последовательность, для которой таких чисел нет, то есть последовательность, не ограниченная сверху или не ограниченная снизу.

Пример. \(a_n = n^2\), то есть \(1\); \(4\); \(9\); \(16\); … Каким бы ни было число \(M\), найдётся натуральное число \(n > M\), и для него \(a_n = n^2 \geqslant n > M\), так как \(n \geqslant 1\). Значит, ни одно число \(M\) не может быть больше или равно всем членам этой последовательности: она не ограничена сверху и, следовательно, неограниченная. Снизу эта последовательность ограничена: \(a_n \geqslant 1\) при любом натуральном \(n\).

Ответ: например, последовательность \(a_n = n^2\): для любого числа \(M\) при натуральном \(n > M\) получаем \(a_n = n^2 \geqslant n > M\), поэтому она не ограничена сверху и, значит, неограниченная.

Арифметической прогрессией называют числовую последовательность \((a_n)\), каждый член которой, начиная со второго, равен сумме предыдущего члена и некоторого числа \(d\), одного и того же для данной последовательности, то есть \(a_{n+1} = a_n + d\) для любого натурального \(n\). Число \(d\) называют разностью арифметической прогрессии: \(d = a_{n+1} - a_n\) при любом натуральном \(n\), то есть разность прогрессии равна разности любого её члена, начиная со второго, и предыдущего члена. Разность может быть любым числом: положительным, отрицательным или нулём.

Пример 1. Арифметическая прогрессия с первым членом \(a_1 = -5\) и разностью \(d = 4\): \(-5\); \(-1\); \(3\); \(7\); \(11\); … Так как \(a_{n+1} - a_n = d = 4 > 0\) при любом натуральном \(n\), эта прогрессия возрастающая; так же возрастает любая арифметическая прогрессия с положительной разностью.

Пример 2. Арифметическая прогрессия с первым членом \(3\) и разностью \(d = -0{,}5\): \(3\); \(2{,}5\); \(2\); \(1{,}5\); … При отрицательной разности прогрессия убывающая.

Пример 3. Арифметическая прогрессия с первым членом \(7\) и разностью \(d = 0\): \(7\); \(7\); \(7\); … При \(d = 0\) все члены прогрессии равны друг другу.

Последовательность \(1\); \(2\); \(4\); \(8\); …, в которой каждый член, начиная со второго, вдвое больше предыдущего, арифметической прогрессией не является: \(a_2 - a_1 = 1\), тогда как \(a_3 - a_2 = 2\).

Ответ: арифметической прогрессией называют числовую последовательность \((a_n)\), каждый член которой, начиная со второго, равен сумме предыдущего члена и одного и того же для данной последовательности числа \(d\), то есть \(a_{n+1} = a_n + d\) для любого натурального \(n\); число \(d = a_{n+1} - a_n\) называют разностью арифметической прогрессии; например, \(-5\); \(-1\); \(3\); \(7\); … (\(d = 4\)), \(3\); \(2{,}5\); \(2\); \(1{,}5\); … (\(d = -0{,}5\)) и \(7\); \(7\); \(7\); … (\(d = 0\)).

Характеристическое свойство арифметической прогрессии: числовая последовательность \((a_n)\) является арифметической прогрессией тогда и только тогда, когда каждый её член, начиная со второго, равен среднему арифметическому предыдущего и последующего её членов, то есть \(a_{n+1} = \frac{a_n + a_{n+2}}{2}\) для любого натурального \(n\). Свойство действует в обе стороны: оно выполняется в любой арифметической прогрессии, и любая последовательность, обладающая им, — арифметическая прогрессия. Действительно, равенство \(a_{n+1} = \frac{a_n + a_{n+2}}{2}\) равносильно равенству \(a_{n+2} - a_{n+1} = a_{n+1} - a_n\); если оно верно при любом \(n\), то разность \(a_{n+1} - a_n\) одна и та же при всех \(n\), а это и означает, что последовательность — арифметическая прогрессия.

Пример 1. В арифметической прогрессии \(3\); \(7\); \(11\); \(15\); … с разностью 4 имеем \(7 = \frac{3 + 11}{2}\) и \(11 = \frac{7 + 15}{2}\).

Пример 2. Докажем, что последовательность \(a_n = 5n - 2\) — арифметическая прогрессия. При любом натуральном \(n\) \[\begin{aligned} &\frac{a_n + a_{n+2}}{2} = \frac{(5n - 2) + (5(n + 2) - 2)}{2} = {} \\ &= \frac{10n + 6}{2} = 5n + 3 = 5(n + 1) - 2 = a_{n+1}. \end{aligned}\] Каждый член последовательности, начиная со второго, равен среднему арифметическому соседних, поэтому по характеристическому свойству она является арифметической прогрессией; её разность \(d = a_2 - a_1 = 8 - 3 = 5\).

Пример 3. Числа \(x\); \(6\); \(2x + 3\) в указанном порядке являются последовательными членами арифметической прогрессии тогда и только тогда, когда \(6 = \frac{x + (2x + 3)}{2}\), то есть \(3x + 3 = 12\), откуда \(x = 3\). При \(x = 3\) получаем числа \(3\); \(6\); \(9\) — каждое следующее на 3 больше предыдущего.

Пример 4. Для последовательности \(a_n = n^2\) имеем \(\frac{a_1 + a_3}{2} = \frac{1 + 9}{2} = 5\), но второй член \(a_2 = 4\). Свойство не выполняется уже при \(n = 1\), поэтому эта последовательность арифметической прогрессией не является.

Ответ: числовая последовательность \((a_n)\) является арифметической прогрессией тогда и только тогда, когда каждый её член, начиная со второго, равен среднему арифметическому предыдущего и последующего членов, то есть \(a_{n+1} = \frac{a_n + a_{n+2}}{2}\) для любого натурального \(n\); например, в прогрессии \(3\); \(7\); \(11\); … имеем \(7 = \frac{3 + 11}{2}\), а последовательность \(a_n = 5n - 2\) — арифметическая прогрессия, так как \(\frac{a_n + a_{n+2}}{2} = a_{n+1}\) при любом натуральном \(n\).

Для арифметической прогрессии \((a_n)\) с первым членом \(a_1\) и разностью \(d\) формула \(n\)-го члена и формулы суммы первых \(n\) членов \(S_n = a_1 + a_2 + \ldots + a_n\) имеют вид \[\begin{aligned} a_n &= a_1 + (n - 1)d; \\ S_n &= \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n; \\ S_n &= \frac{2a_1 + (n - 1) \cdot d}{2} \cdot n. \end{aligned}\]

Пример 1. В арифметической прогрессии \(a_1 = 2\), \(d = 3\). Найдём её десятый член и сумму первых десяти членов: \[\begin{aligned} a_{10} &= 2 + (10 - 1) \cdot 3 = 29; \\ S_{10} &= \frac{2 + 29}{2} \cdot 10 = 155. \end{aligned}\] Вторая формула суммы даёт то же: \(S_{10} = \frac{2 \cdot 2 + 9 \cdot 3}{2} \cdot 10 = \frac{31}{2} \cdot 10 = 155\).

Геометрической прогрессией называют числовую последовательность ненулевых чисел \((b_n)\), в которой каждый член, начиная со второго, равен произведению предыдущего члена и некоторого отличного от нуля числа \(q\), одного и того же для данной последовательности: \(b_{n+1} = b_n \cdot q\) для любого натурального \(n\), где \(b_n \neq 0\), \(q \neq 0\). Число \(q\) называют знаменателем геометрической прогрессии. Члены прогрессии отличны от нуля, поэтому знаменатель равен отношению любого её члена, начиная со второго, к предыдущему: \(q = \frac{b_{n+1}}{b_n}\).

Пример 2. Геометрическая прогрессия с первым членом \(b_1 = 3\) и знаменателем \(q = 2\): \(3\); \(6\); \(12\); \(24\); … — каждый член, начиная со второго, вдвое больше предыдущего.

Пример 3. Геометрическая прогрессия с первым членом \(b_1 = 8\) и знаменателем \(q = -0{,}5\): \(8\); \(-4\); \(2\); \(-1\); … Знаменатель может быть отрицательным; тогда знаки членов прогрессии чередуются.

Последовательность \(1\); \(2\); \(3\); \(4\); … геометрической прогрессией не является: \(\frac{2}{1} = 2\), а \(\frac{3}{2} = 1{,}5\) — отношение члена к предыдущему не одно и то же.

Ответ: \(a_n = a_1 + (n - 1)d\), \(S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n\) и \(S_n = \frac{2a_1 + (n - 1) \cdot d}{2} \cdot n\) (например, при \(a_1 = 2\), \(d = 3\) получаем \(a_{10} = 29\), \(S_{10} = 155\)); геометрической прогрессией называют числовую последовательность ненулевых чисел \((b_n)\), в которой каждый член, начиная со второго, равен произведению предыдущего члена и одного и того же для данной последовательности числа \(q \neq 0\), то есть \(b_{n+1} = b_n \cdot q\); число \(q = \frac{b_{n+1}}{b_n}\) называют знаменателем геометрической прогрессии; например, \(3\); \(6\); \(12\); \(24\); … (\(q = 2\)) и \(8\); \(-4\); \(2\); \(-1\); … (\(q = -0{,}5\)).

Характеристическое свойство геометрической прогрессии: последовательность \((b_n)\) является геометрической прогрессией тогда и только тогда, когда все её члены отличны от нуля и \(b_{n+1}^2 = b_n \cdot b_{n+2}\) для любого натурального \(n\), то есть квадрат каждого члена, начиная со второго, равен произведению предыдущего и последующего членов. Условие, что все члены отличны от нуля, обязательно: без него равенство признаком не служит.

Пример 1. В геометрической прогрессии \(2\); \(6\); \(18\); \(54\); … со знаменателем 3 имеем \(6^2 = 36 = 2 \cdot 18\) и \(18^2 = 324 = 6 \cdot 54\).

Пример 2. Докажем, что последовательность \(b_n = 5 \cdot 2^n\) — геометрическая прогрессия. Все её члены положительны, то есть отличны от нуля, и при любом натуральном \(n\) \[\begin{aligned} b_{n+1}^2 &= (5 \cdot 2^{n+1})^2 = 25 \cdot 2^{2n+2}; \\ b_n \cdot b_{n+2} &= 5 \cdot 2^n \cdot 5 \cdot 2^{n+2} = 25 \cdot 2^{2n+2}. \end{aligned}\] Значит, \(b_{n+1}^2 = b_n \cdot b_{n+2}\) при любом натуральном \(n\), и по характеристическому свойству \((b_n)\) — геометрическая прогрессия; её знаменатель \(q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{20}{10} = 2\).

Пример 3. Числа \(3\); \(x\); \(12\) в указанном порядке являются последовательными членами геометрической прогрессии тогда и только тогда, когда \(x \neq 0\) и \(x^2 = 3 \cdot 12 = 36\). Это уравнение имеет два корня: \(x = -6\) и \(x = 6\). Оба подходят: получаются прогрессии \(3\); \(-6\); \(12\) со знаменателем \(-2\) и \(3\); \(6\); \(12\) со знаменателем 2.

Пример 4. В последовательности \(0\); \(0\); \(0\); … равенство \(b_{n+1}^2 = b_n \cdot b_{n+2}\) выполняется при любом \(n\): \(0^2 = 0 \cdot 0\). Но геометрической прогрессией она не является, так как члены геометрической прогрессии по определению отличны от нуля.

Ответ: последовательность \((b_n)\) является геометрической прогрессией тогда и только тогда, когда все её члены отличны от нуля и \(b_{n+1}^2 = b_n \cdot b_{n+2}\) для любого натурального \(n\); например, в прогрессии \(2\); \(6\); \(18\); … имеем \(6^2 = 2 \cdot 18\), а последовательность \(0\); \(0\); \(0\); … этому равенству удовлетворяет, но геометрической прогрессией не является.

Метод математической индукции основан на следующем принципе: утверждение верно при любом натуральном \(n\), если оно верно при \(n = 1\) (база индукции) и если для любого натурального \(k\) из справедливости утверждения при \(n = k\) следует его справедливость при \(n = k + 1\) (шаг индукции). Если утверждение нужно доказать не для всех натуральных \(n\), а начиная с некоторого \(n_0\), базу проверяют при \(n = n_0\), а шаг — для любого натурального \(k \geqslant n_0\).

Докажем методом математической индукции, что \(n\)-й член арифметической прогрессии \((a_n)\) с первым членом \(a_1\) и разностью \(d\) находится по формуле \(a_n = a_1 + (n - 1)d\). По определению арифметической прогрессии \(a_{n+1} = a_n + d\) для любого натурального \(n\).

1) При \(n = 1\) правая часть формулы равна \(a_1 + (1 - 1)d = a_1 + 0 \cdot d = a_1\), то есть совпадает с левой частью. Значит, при \(n = 1\) утверждение верно.

2) Пусть утверждение верно при \(n = k\), где \(k\) — натуральное число, то есть \(a_k = a_1 + (k - 1)d\). Докажем, что тогда оно верно и при \(n = k + 1\), то есть \(a_{k+1} = a_1 + kd\). По определению арифметической прогрессии \(a_{k+1} = a_k + d\); подставим вместо \(a_k\) выражение из предположения: \[a_{k+1} = a_k + d = a_1 + (k - 1)d + d = a_1 + kd.\] Значит, при \(n = k + 1\) утверждение верно.

Таким образом, выполнены оба условия метода математической индукции, значит, \(a_n = a_1 + (n - 1)d\) при любом натуральном \(n\).

Ответ: формула \(a_n = a_1 + (n - 1)d\) доказывается методом математической индукции: при \(n = 1\) она верна, так как \(a_1 = a_1 + 0 \cdot d\), а из её справедливости при \(n = k\) следует \(a_{k+1} = a_k + d = a_1 + (k - 1)d + d = a_1 + kd\), то есть справедливость при \(n = k + 1\); значит, формула верна при любом натуральном \(n\).

При сложных процентах проценты в конце каждого года начисляются на всю сумму, накопленную к этому моменту, вместе с ранее начисленными процентами. Поэтому за год сумма на вкладе увеличивается на \(r\) %, то есть умножается на \(1 + \frac{r}{100}\), где \(r\) — годовая процентная ставка: \(S_{n+1} = S_n\left(1 + \frac{r}{100}\right)\). Значит, суммы \(S_0\), \(S_1\), \(S_2\), … на вкладе в начальный момент и через год, два и т. д. образуют геометрическую прогрессию со знаменателем \(1 + \frac{r}{100}\), и сумма через \(n\) лет равна \[S_n = S_0\left(1 + \frac{r}{100}\right)^n.\] Эту формулу и называют формулой сложных процентов: \(S_0\) — первоначальная сумма вклада, \(r\) % — годовая процентная ставка, \(S_n\) — сумма на вкладе через \(n\) лет.

Пример. Вклад \(50\,000\) рублей положили в банк под 4 % годовых по схеме сложных процентов. Через 2 года на счёте будет \[S_2 = 50\,000 \cdot \left(1 + \frac{4}{100}\right)^2 = 50\,000 \cdot 1{,}0816 = 54\,080 \text{ (руб.)}.\] По годам: через год на счёте \(50\,000 \cdot 1{,}04 = 52\,000\) (руб.), через два года — \(52\,000 \cdot 1{,}04 = 54\,080\) (руб.). При простых процентах по той же ставке через 2 года было бы \(50\,000 \cdot \left(1 + \frac{4}{100} \cdot 2\right) = 54\,000\) (руб.): при сложных процентах во второй год проценты начисляются и на 2000 руб. процентов первого года.

Ответ: формулой сложных процентов называют формулу \(S_n = S_0\left(1 + \frac{r}{100}\right)^n\), где \(S_0\) — первоначальная сумма вклада, \(r\) % — годовая процентная ставка, \(S_n\) — сумма на вкладе через \(n\) лет, если проценты каждый год начисляются на сумму, накопленную к этому моменту; например, \(50\,000\) рублей под 4 % годовых через 2 года превратятся в \(50\,000 \cdot 1{,}04^2 = 54\,080\) рублей.