Темы исследовательских работ на странице 103, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень

План доклада:
1. Неравенство с двумя переменными и множество его решений.
2. Прямая делит плоскость: линейные неравенства.
3. Границы-кривые: парабола, гипербола, окружность.
4. Строгий и нестрогий знак, выбор части плоскости.
5. Системы неравенств и их графическое решение.

Презентация к докладу: «Неравенства и системы неравенств с двумя переменными», 7 слайдов (.pptx)

Основное содержание.

1. Неравенство с двумя переменными и множество его решений. Решением неравенства с двумя переменными называют пару значений переменных, при подстановке которых в неравенство получается верное числовое неравенство. Пара \((1; 3)\) — решение неравенства \(x + y > 2\), так как \(1 + 3 = 4 > 2\), а пара \((0; 1)\) — нет: \(0 + 1 = 1 < 2\). Множество всех решений неравенства называют множеством его решений; решить неравенство — значит найти это множество. Как правило, решений бесконечно много, поэтому множество решений изображают на координатной плоскости: отмечают все точки, координаты которых удовлетворяют неравенству. Получается полуплоскость, круг, часть плоскости между двумя линиями.

2. Прямая делит плоскость: линейные неравенства. Прямая \(ax + by = c\) разбивает координатную плоскость на две полуплоскости: координаты всех точек одной из них удовлетворяют неравенству \(ax + by > c\), а координаты всех точек другой — неравенству \(ax + by < c\). Если неравенство разрешено относительно \(y\), нужная полуплоскость видна сразу. У точки, лежащей выше прямой \(y = 2x - 1\), ордината больше, чем у точки прямой с той же абсциссой; поэтому неравенству \(y > 2x - 1\) удовлетворяют точки, лежащие выше прямой \(y = 2x - 1\), а неравенству \(y < 2x - 1\) — лежащие ниже неё. Так же неравенству \(x > 3\) удовлетворяют точки, лежащие правее прямой \(x = 3\), а неравенству \(y \leqslant -1\) — точки прямой \(y = -1\) и все точки ниже неё.

3. Границы-кривые: парабола, гипербола, окружность. Так же решают неравенства, у которых граница множества решений — кривая. Неравенству \(y > x^2 - 4\) удовлетворяют точки, лежащие выше параболы \(y = x^2 - 4\). Выражение \(x^2 + y^2\) равно квадрату расстояния от точки \((x; y)\) до начала координат, поэтому неравенство \(x^2 + y^2 < 9\) задаёт множество точек, лежащих внутри окружности с центром в начале координат и радиусом 3, а неравенство \((x - 1)^2 + (y + 2)^2 \geqslant 4\) — окружность с центром \((1; -2)\) и радиусом 2 вместе со всеми точками вне её. Гипербола \(xy = 6\) разбивает плоскость на три части: неравенству \(xy > 6\) удовлетворяют точки двух из них — лежащие выше и правее правой ветви и ниже и левее левой ветви, а точки между ветвями удовлетворяют неравенству \(xy < 6\).

4. Строгий и нестрогий знак, выбор части плоскости. Сначала находят границу — график уравнения, которое получается из неравенства заменой знака на «=». При нестрогом знаке (\(\leqslant\) или \(\geqslant\)) точки границы являются решениями, и границу проводят сплошной линией; при строгом (\(<\) или \(>\)) не являются, и линию проводят штриховой. Затем выбирают нужную часть плоскости: берут точку, не лежащую на границе, и подставляют её координаты в неравенство. Если получилось верное неравенство, решениями являются все точки той части плоскости, где лежит эта точка; если неверное, а частей две, — все точки другой части. Например, для неравенства \(2x - 3y \leqslant 6\) точка \((0; 0)\) даёт верное неравенство \(0 \leqslant 6\), поэтому его решения — прямая \(2x - 3y = 6\) и полуплоскость, содержащая начало координат. Если частей больше двух (граница — гипербола или несколько линий), точку берут в каждой части. У неравенства \((y - x)(y + x) > 0\) граница — прямые \(y = x\) и \(y = -x\), они делят плоскость на четыре части, и неравенству удовлетворяют точки двух из них: части, содержащей точку \((0; 1)\), и части, содержащей точку \((0; -1)\).

5. Системы неравенств и их графическое решение. Решение системы неравенств с двумя переменными — пара, которая является решением каждого неравенства системы. Чтобы решить систему графически, нужно графически решить каждое неравенство и выделить общие точки полученных множеств решений. Общие точки границ находят, решая систему уравнений; если в такой точке не выполняется хотя бы одно строгое неравенство системы, её отмечают выколотой. Например, система \(x \geqslant 0\), \(y \geqslant 0\), \(x + 2y \leqslant 4\) задаёт треугольник с вершинами \((0; 0)\), \((4; 0)\) и \((0; 2)\) вместе с его сторонами; площадь этого треугольника равна \(\frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 2 = 4\). Система \(x^2 + y^2 \leqslant 25\), \(y > x + 5\) задаёт часть круга, лежащую выше прямой \(y = x + 5\). Подстановка \(x + 5\) вместо \(y\) в уравнение окружности даёт \(x^2 + (x + 5)^2 = 25\), то есть \(2x(x + 5) = 0\), поэтому прямая пересекает окружность в точках \((-5; 0)\) и \((0; 5)\); эти точки выколоты, так как неравенство \(y > x + 5\) в них не выполняется.

Резюме: Таким образом, множество решений неравенства с двумя переменными — часть координатной плоскости, граница которой является графиком уравнения, получающегося заменой знака неравенства на «=»: прямая делит плоскость на две полуплоскости, окружность — на внутреннюю и внешнюю части, гипербола — на три части. Нужную часть выбирают по виду неравенства или подстановкой координат точки, не лежащей на границе, а знак неравенства показывает, входит ли граница в множество решений. Систему неравенств решают так же, как каждое её неравенство, а затем выделяют общую часть множеств решений, отдельно проверяя общие точки границ.