Контрольные вопросы и задания на странице 102, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень

Решением уравнения с двумя переменными называют пару чисел, при подстановке которых вместо переменных уравнение превращается в верное равенство. В паре первым записывают значение \(x\), вторым — значение \(y\), поэтому порядок чисел в паре важен.

Пример. Рассмотрим уравнение \(2x + y = 7\).

Пара \((1; 5)\) — его решение: \(2 \cdot 1 + 5 = 7\) — верное равенство. Пара \((3; 1)\) — тоже решение: \(2 \cdot 3 + 1 = 7\).

Пара \((2; 2)\) решением не является: \(2 \cdot 2 + 2 = 6\), а \(6 \ne 7\). Пара \((5; 1)\), составленная из тех же чисел, что и решение \((1; 5)\), тоже не является решением: \(2 \cdot 5 + 1 = 11\), а \(11 \ne 7\).

Решений у этого уравнения бесконечно много: при любом значении \(x\) пара \((x; 7 - 2x)\) — решение, так как \(2x + (7 - 2x) = 7\). Например, при \(x = -1\) получаем решение \((-1; 9)\).

Ответ: решением уравнения с двумя переменными называют пару чисел, при подстановке которых вместо переменных уравнение превращается в верное равенство; например, пары \((1; 5)\) и \((3; 1)\) — решения уравнения \(2x + y = 7\), а пара \((2; 2)\) — нет.

Графиком уравнения с двумя переменными называют множество всех точек координатной плоскости, координаты которых являются решениями этого уравнения. Точка лежит на графике тогда и только тогда, когда её координаты обращают уравнение в верное равенство.

Пример 1. Из уравнения \(x + y = 3\) выразим \(y\): \(y = 3 - x\). Это линейная функция, поэтому график уравнения \(x + y = 3\) — прямая; она проходит через точки \((0; 3)\) и \((3; 0)\).

Пример 2. Квадрат расстояния от точки \((x; y)\) до начала координат равен \((x - 0)^2 + (y - 0)^2 = x^2 + y^2\). Поэтому график уравнения \(x^2 + y^2 = 25\) — множество точек, удалённых от начала координат на 5, то есть окружность с центром в начале координат и радиусом 5. На ней лежат, например, точки \((3; 4)\) и \((-5; 0)\): \(3^2 + 4^2 = 25\) и \((-5)^2 + 0^2 = 25\).

Пример 3. Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда нулю равен хотя бы один из множителей; множители \(x + 2\) и \(x - 4\) имеют смысл при любых значениях переменных. Поэтому решения уравнения \((x + 2)(x - 4) = 0\) — все пары, у которых \(x = -2\) или \(x = 4\), а \(y\) — любое число. График этого уравнения — две прямые \(x = -2\) и \(x = 4\), параллельные оси ординат.

Пример 4. В уравнении \(xy = 4\) значение \(x = 0\) невозможно: при нём левая часть равна нулю, а не 4. При \(x \ne 0\) разделим обе части уравнения на \(x\) и получим \(y = \frac{4}{x}\). Значит, график уравнения \(xy = 4\) — гипербола \(y = \frac{4}{x}\), её ветви расположены в I и III координатных четвертях; на ней лежит, например, точка \((2; 2)\).

Ответ: графиком уравнения с двумя переменными называют множество всех точек координатной плоскости, координаты которых являются решениями этого уравнения; например, график уравнения \(x + y = 3\) — прямая, \(x^2 + y^2 = 25\) — окружность с центром в начале координат и радиусом \(5\), \((x + 2)(x - 4) = 0\) — две прямые \(x = -2\) и \(x = 4\), \(xy = 4\) — гипербола \(y = \frac{4}{x}\).

Пару чисел называют решением системы уравнений с двумя переменными, если эта пара является решением каждого из уравнений системы. Множество решений системы — множество всех общих решений её уравнений; решить систему — значит найти все её решения или доказать, что их нет.

Пример. Рассмотрим систему \(\begin{cases} x + y = 7, \\ xy = 12. \end{cases}\)

Пара \((3; 4)\) — решение системы: \(3 + 4 = 7\) и \(3 \cdot 4 = 12\) — оба равенства верные. Пара \((4; 3)\) — тоже решение: \(4 + 3 = 7\) и \(4 \cdot 3 = 12\).

Пара \((2; 5)\) — решение первого уравнения (\(2 + 5 = 7\)), но не второго: \(2 \cdot 5 = 10\), а \(10 \ne 12\). Поэтому решением системы она не является.

Других решений у системы нет. Из первого уравнения \(y = 7 - x\); подставим \(7 - x\) вместо \(y\) во второе уравнение: \[\begin{aligned} x(7 - x) &= 12; \\ x^2 - 7x + 12 &= 0; \\ D &= (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 49 - 48 = 1; \\ x_1 &= \frac{7 - \sqrt{1}}{2} = \frac{7 - 1}{2} = 3; \\ x_2 &= \frac{7 + \sqrt{1}}{2} = \frac{7 + 1}{2} = 4. \end{aligned}\] При \(x = 3\) получаем \(y = 7 - 3 = 4\), при \(x = 4\) — \(y = 7 - 4 = 3\).

Ответ: решением системы уравнений с двумя переменными называют пару чисел, которая является решением каждого уравнения системы; например, система \(\begin{cases} x + y = 7, \\ xy = 12 \end{cases}\) имеет решения \((3; 4)\) и \((4; 3)\), а пара \((2; 5)\) её решением не является.

При способе подстановки из одного уравнения системы выражают одну переменную через другую и подставляют полученное выражение вместо этой переменной в другое уравнение. Получается уравнение с одной переменной; каждый его корень, подставленный в формулу для выраженной переменной, даёт решение системы.

Пример. Решим систему уравнений \(\begin{cases} x - y = 1, \\ x^2 + y^2 = 13. \end{cases}\)

Из первого уравнения выразим \(x\) через \(y\): \(x = y + 1\). Подставим \(y + 1\) вместо \(x\) во второе уравнение системы: \[\begin{aligned} (y + 1)^2 + y^2 &= 13; \\ y^2 + 2y + 1 + y^2 &= 13; \\ 2y^2 + 2y - 12 &= 0; \qquad | : 2 \\ y^2 + y - 6 &= 0; \\ D &= 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25; \\ y_1 &= \frac{-1 - \sqrt{25}}{2} = \frac{-1 - 5}{2} = -3; \\ y_2 &= \frac{-1 + \sqrt{25}}{2} = \frac{-1 + 5}{2} = 2. \end{aligned}\] Найдём значения \(x\) по формуле \(x = y + 1\): при \(y = -3\) получим \(x = -2\), при \(y = 2\) — \(x = 3\).

Проверка: для пары \((-2; -3)\) получаем \(-2 - (-3) = 1\) и \((-2)^2 + (-3)^2 = 4 + 9 = 13\), для пары \((3; 2)\) — \(3 - 2 = 1\) и \(3^2 + 2^2 = 9 + 4 = 13\).

Ответ: при способе подстановки из одного уравнения системы выражают переменную через другую и подставляют полученное выражение в другое уравнение; например, для системы \(\begin{cases} x - y = 1, \\ x^2 + y^2 = 13 \end{cases}\) подстановка \(x = y + 1\) даёт уравнение \(y^2 + y - 6 = 0\), и система имеет решения \((-2; -3)\) и \((3; 2)\).

При способе сложения обе части уравнений системы, если нужно, умножают на такие числа, чтобы после сложения (или вычитания) уравнений одна из переменных исчезла. Затем складывают левые и правые части уравнений, решают получившееся уравнение с одной переменной и находят значения другой переменной из любого уравнения системы.

Пример. Решим систему уравнений \(\begin{cases} x^2 + y^2 = 25, \\ x^2 - y^2 = 7. \end{cases}\)

Сложим уравнения системы — слагаемые \(y^2\) и \(-y^2\) взаимно уничтожатся: \[\begin{aligned} (x^2 + y^2) + (x^2 - y^2) &= 25 + 7; \\ 2x^2 &= 32; \qquad | : 2 \\ x^2 &= 16. \end{aligned}\] Значит, \(x = -4\) или \(x = 4\). Найдём значения \(y\) из уравнения \(x^2 + y^2 = 25\). При \(x = 4\) оно примет вид \(16 + y^2 = 25\), откуда \(y^2 = 9\), то есть \(y = -3\) или \(y = 3\). При \(x = -4\) значение выражения \(x^2\) то же — 16, поэтому снова \(y = -3\) или \(y = 3\).

Проверка: у каждой из четырёх пар \(x^2 = 16\) и \(y^2 = 9\), поэтому левые части уравнений равны \(16 + 9 = 25\) и \(16 - 9 = 7\).

Ответ: при способе сложения уравнения системы складывают (если нужно, умножив их обе части на подходящие числа) так, чтобы одна из переменных исчезла; например, сложение уравнений системы \(\begin{cases} x^2 + y^2 = 25, \\ x^2 - y^2 = 7 \end{cases}\) даёт \(2x^2 = 32\), и система имеет четыре решения: \((-4; -3)\); \((-4; 3)\); \((4; -3)\); \((4; 3)\).

Окружностью с центром \(O\) радиусом \(r\) называют множество точек, расстояние от которых до точки \(O\) равно \(r\).

Квадрат расстояния между точками с координатами \((x_1; y_1)\) и \((x_2; y_2)\) равен \((x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2\). Поэтому квадрат расстояния от точки \(M(x; y)\) до начала координат \(O(0; 0)\) равен \((x - 0)^2 + (y - 0)^2 = x^2 + y^2\). Точка \(M\) лежит на окружности с центром \(O\) и радиусом 5 тогда и только тогда, когда расстояние от неё до точки \(O\) равно 5. Расстояние неотрицательно, поэтому это равносильно тому, что его квадрат равен 25, то есть \(x^2 + y^2 = 25\).

Например, точка \((3; -4)\) лежит на этой окружности: \(3^2 + (-4)^2 = 9 + 16 = 25\). Точка \((1; 2)\) на ней не лежит: \(1^2 + 2^2 = 5\), а \(5 \ne 25\); эта точка удалена от начала координат на \(\sqrt{5}\), то есть меньше чем на 5, и лежит внутри окружности.

Окружность радиусом \(r\) с центром в точке \((a; b)\) задаётся уравнением \((x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2\); при \(a = 0\), \(b = 0\), \(r = 5\) получается то же уравнение \(x^2 + y^2 = 25\).

Ответ: окружностью с центром \(O\) радиусом \(r\) называют множество точек, расстояние от которых до точки \(O\) равно \(r\); окружность с центром в начале координат и радиусом \(5\) задаётся уравнением \(x^2 + y^2 = 25\).

Этап 1. Построить в одной системе координат график каждого уравнения системы.

Этап 2. Найти координаты общих точек построенных графиков. Точка является общей точкой графиков тогда и только тогда, когда её координаты удовлетворяют каждому уравнению системы, поэтому решений у системы столько же, сколько общих точек у графиков.

Этап 3. Проверить подстановкой, что найденные пары являются решениями системы, и убедиться, что других решений нет. Координаты общих точек часто удаётся найти только приближённо, а часть общих точек может лежать вне изображённой части координатной плоскости. Если подстановка не даёт верных равенств, найденные значения — лишь приближённые решения.

Этап 4. Записать ответ.

Пример. Рассмотрим систему \(\begin{cases} x^2 + y^2 = 25, \\ y = x + 1. \end{cases}\) График первого уравнения — окружность с центром в начале координат и радиусом 5, график второго — прямая, проходящая через точки \((-1; 0)\) и \((0; 1)\). Прямая проходит через узлы координатной сетки \((-4; -3)\) и \((3; 4)\), которые лежат и на окружности, — это общие точки графиков.

Проверка: при \(x = -4\), \(y = -3\) первое уравнение превращается в верное равенство \((-4)^2 + (-3)^2 = 25\), второе — в верное равенство \(-3 = -4 + 1\); при \(x = 3\), \(y = 4\) — в верные равенства \(3^2 + 4^2 = 25\) и \(4 = 3 + 1\). Других решений нет: прямая и окружность имеют не больше двух общих точек, так как после подстановки \(x + 1\) вместо \(y\) в первое уравнение получается квадратное уравнение \(x^2 + (x + 1)^2 = 25\), а у него не больше двух корней.

Ответ: чтобы решить систему уравнений графическим способом, нужно построить в одной системе координат график каждого уравнения системы, найти координаты общих точек графиков, проверить подстановкой, что найденные пары являются решениями системы и других решений нет, и записать ответ; например, система \(\begin{cases} x^2 + y^2 = 25, \\ y = x + 1 \end{cases}\) имеет решения \((-4; -3)\) и \((3; 4)\).

Решением неравенства с двумя переменными называют такую пару значений переменных, при подстановке которых в это неравенство получается верное числовое неравенство. Множество всех решений неравенства называют множеством его решений; решить неравенство — значит найти это множество.

Пример 1. Рассмотрим неравенство \(y > x^2\). Пара \((1; 2)\) — его решение: \(1^2 = 1\), а \(2 > 1\) — верное числовое неравенство. Пара \((2; 3)\) решением не является: \(2^2 = 4\), а \(3 < 4\). Пара \((1; 1)\) тоже не является решением: при \(x = 1\), \(y = 1\) обе части неравенства равны 1, а неравенство строгое; точка \((1; 1)\) лежит на параболе \(y = x^2\).

Пример 2. Для нестрогого неравенства \(x + y \leqslant 5\) решениями являются и пары, при которых выполняется равенство \(x + y = 5\): пара \((2; 3)\) — решение, так как \(2 + 3 = 5\). Пара \((0; 0)\) — тоже решение: \(0 + 0 = 0 \leqslant 5\), а пара \((4; 3)\) — нет: \(4 + 3 = 7 > 5\).

Ответ: решением неравенства с двумя переменными называют пару значений переменных, при подстановке которых в неравенство получается верное числовое неравенство; например, пара \((1; 2)\) — решение неравенства \(y > x^2\), а пара \((2; 3)\) — нет.

Рассмотрим неравенство \(2x + y \geqslant 4\).

Граница множества его решений — график уравнения \(2x + y = 4\), которое получается заменой знака неравенства на «=». Из этого уравнения \(y = 4 - 2x\), поэтому его график — прямая, проходящая через точки \((0; 4)\) и \((2; 0)\). Неравенство нестрогое, поэтому все точки этой прямой являются его решениями.

Перенесём \(2x\) в правую часть: неравенство примет вид \(y \geqslant 4 - 2x\). Если точка лежит выше прямой \(y = 4 - 2x\), то её ордината больше ординаты точки прямой с той же абсциссой, поэтому координаты такой точки удовлетворяют неравенству \(y > 4 - 2x\); координаты точек, лежащих ниже прямой, удовлетворяют неравенству \(y < 4 - 2x\). Рассмотрим, например, точки \((0; 0)\) и \((3; 1)\), не лежащие на прямой. Для первой \(2 \cdot 0 + 0 = 0 < 4\) — она лежит ниже прямой и решением не является; для второй \(2 \cdot 3 + 1 = 7 \geqslant 4\) — она лежит выше прямой, и пара \((3; 1)\) — решение.

Множество решений неравенства \(2x + y \geqslant 4\) — прямая \(2x + y = 4\) и полуплоскость, лежащая выше этой прямой.

Ответ: множество решений неравенства \(2x + y \geqslant 4\) — прямая \(2x + y = 4\) и полуплоскость, лежащая выше этой прямой.

Чтобы решить систему неравенств с двумя переменными графическим способом, нужно графически решить каждое неравенство системы и выделить общие точки полученных множеств решений, если они есть.

Пример. Рассмотрим систему \(\begin{cases} y \geqslant x^2, \\ y < x + 2. \end{cases}\)

Границы множеств решений неравенств — графики уравнений \(y = x^2\) и \(y = x + 2\). Графиком первого является парабола с вершиной \((0; 0)\) и ветвями, направленными вверх, графиком второго — прямая, проходящая через точки \((-2; 0)\) и \((0; 2)\). Найдём общие точки графиков — решим систему этих уравнений, подставив \(x + 2\) вместо \(y\) в первое уравнение: \[\begin{aligned} x^2 &= x + 2; \\ x^2 - x - 2 &= 0; \\ D &= (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9; \\ x_1 &= \frac{1 - \sqrt{9}}{2} = \frac{1 - 3}{2} = -1; \\ x_2 &= \frac{1 + \sqrt{9}}{2} = \frac{1 + 3}{2} = 2. \end{aligned}\] При \(x = -1\) получаем \(y = -1 + 2 = 1\), при \(x = 2\) — \(y = 2 + 2 = 4\). Графики пересекаются в точках \((-1; 1)\) и \((2; 4)\).

Решим первое неравенство. Оно нестрогое, поэтому точки параболы \(y = x^2\) являются его решениями. Кроме них, неравенству \(y \geqslant x^2\) удовлетворяют точки, лежащие выше параболы: у такой точки ордината больше ординаты точки параболы с той же абсциссой. Например, для точки \((0; 1)\) получаем \(1 \geqslant 0^2\) — верно.

Решим второе неравенство. Оно строгое, поэтому точки прямой \(y = x + 2\) его решениями не являются; неравенству \(y < x + 2\) удовлетворяют точки, лежащие ниже прямой. Например, для точки \((0; 0)\) получаем \(0 < 0 + 2\) — верно.

Общие точки двух множеств лежат на параболе или выше неё и при этом ниже прямой, то есть между параболой и прямой при \(-1 < x < 2\). В точках \((-1; 1)\) и \((2; 4)\) выполняется равенство \(y = x + 2\), а второе неравенство строгое, поэтому эти точки решениями системы не являются — они выколоты.

Множество решений системы — часть плоскости между параболой \(y = x^2\) и прямой \(y = x + 2\): точки параболы при \(-1 < x < 2\) в него входят, точки прямой — нет, точки \((-1; 1)\) и \((2; 4)\) выколоты.

Ответ: множество решений системы \(\begin{cases} y \geqslant x^2, \\ y < x + 2 \end{cases}\) — часть плоскости между параболой \(y = x^2\) и прямой \(y = x + 2\): точки параболы при \(-1 < x < 2\) в него входят, точки прямой — нет.