Номер №155. — ГДЗ по алгебре за 9 класс, Никольский

а) Решим неравенство
\[\frac{(x+1)^2 (x-2)}{(x+3)^2} > 0.\]

Это неравенство равносильно неравенству
\[(x+1)^2 (x-2)(x+3)^2 > 0.\]

Отметим на числовой оси корни левой части: \(-3\), \(-1\), \(2\). При переходе через точки \(-3\) и \(-1\) знак произведения не меняется (множители \((x+3)^2\) и \((x+1)^2\) входят в чётной степени), а при переходе через точку \(2\) — меняется. При \(x > 2\) произведение положительно.

Применяя общий метод интервалов, получим, что множество всех решений неравенства — интервал \((2;\ +\infty)\).

б) Решим неравенство
\[\frac{(x-1)^2 (x+2)^2}{x+3} < 0.\]

Это неравенство равносильно неравенству
\[(x-1)^2 (x+2)^2 (x+3) < 0.\]

Отметим на числовой оси корни левой части: \(-3\), \(-2\), \(1\). При переходе через точки \(-2\) и \(1\) знак произведения не меняется (множители входят в чётной степени), а при переходе через точку \(-3\) — меняется. При \(x > 1\) произведение положительно.

Применяя общий метод интервалов, получим, что множество всех решений неравенства — интервал \((-\infty;\ -3)\).

в) Решим неравенство
\[\frac{(x+1)^3 (x-2)}{(x-3)^2} < 0.\]

Это неравенство равносильно неравенству
\[(x+1)^3 (x-2)(x-3)^2 < 0.\]

Отметим на числовой оси корни левой части: \(-1\), \(2\), \(3\). При переходе через точку \(3\) знак произведения не меняется (множитель \((x-3)^2\) входит в чётной степени), а при переходе через точки \(-1\) и \(2\) — меняется. При \(x > 3\) произведение положительно.

Применяя общий метод интервалов, получим, что множество всех решений неравенства — интервал \((-1;\ 2)\).

г) Решим неравенство
\[\frac{(x+1)(x+2)^3}{x+3} < 0.\]

Это неравенство равносильно неравенству
\[(x+1)(x+2)^3 (x+3) < 0.\]

Отметим на числовой оси корни левой части: \(-3\), \(-2\), \(-1\). Все множители входят в нечётной степени, поэтому при переходе через каждую из этих точек знак произведения меняется. При \(x > -1\) произведение положительно.

Применяя общий метод интервалов, получим, что множество всех решений неравенства состоит из объединения двух интервалов: \((-\infty;\ -3)\) и \((-2;\ -1)\).

д) Решим неравенство
\[\frac{(x-1)^2 (x-3)}{x+3} > 0.\]

Это неравенство равносильно неравенству
\[(x-1)^2 (x-3)(x+3) > 0.\]

Отметим на числовой оси корни левой части: \(-3\), \(1\), \(3\). При переходе через точку \(1\) знак произведения не меняется (множитель \((x-1)^2\) входит в чётной степени), а при переходе через точки \(-3\) и \(3\) — меняется. При \(x > 3\) произведение положительно.

Применяя общий метод интервалов, получим, что множество всех решений неравенства состоит из объединения двух интервалов: \((-\infty;\ -3)\) и \((3;\ +\infty)\).

е) Решим неравенство
\[\frac{(x-2)^2 (x+4)}{x-4} < 0.\]

Это неравенство равносильно неравенству
\[(x-2)^2 (x+4)(x-4) < 0.\]

Отметим на числовой оси корни левой части: \(-4\), \(2\), \(4\). При переходе через точку \(2\) знак произведения не меняется (множитель \((x-2)^2\) входит в чётной степени), а при переходе через точки \(-4\) и \(4\) — меняется. При \(x > 4\) произведение положительно. Точка \(x = 2\) не является решением: в ней левая часть равна нулю.

Применяя общий метод интервалов, получим, что множество всех решений неравенства состоит из объединения двух интервалов: \((-4;\ 2)\) и \((2;\ 4)\).

Ответ: а) \((2;\ +\infty)\); б) \((-\infty;\ -3)\); в) \((-1;\ 2)\); г) \((-\infty;\ -3) \cup (-2;\ -1)\); д) \((-\infty;\ -3) \cup (3;\ +\infty)\); е) \((-4;\ 2) \cup (2;\ 4)\).