Номер №156. — ГДЗ по алгебре за 9 класс, Никольский

а) Неравенство
\[\frac{(x+5)(x-3)}{(x-a)^2} > 0\]
равносильно неравенству
\[(x+5)(x-3)(x-a)^2 > 0.\]

Корни левой части — числа \(-5\), \(3\) и \(a\). При переходе через точки \(-5\) и \(3\) знак произведения меняется, а при переходе через точку \(a\) — не меняется (множитель \((x-a)^2\) входит в чётной степени). Рассмотрим все случаи расположения точки \(a\) относительно точек \(-5\) и \(3\).

1) Пусть \(a < -5\). Применяя общий метод интервалов, получим:

Множество решений \((-\infty;\ a) \cup (a;\ -5) \cup (3;\ +\infty)\) состоит из трёх интервалов.

2) Пусть \(a = -5\). Неравенство примет вид \((x+5)^3(x-3) > 0\); его множество решений \((-\infty;\ -5) \cup (3;\ +\infty)\) состоит из двух интервалов.

3) Пусть \(-5 < a < 3\). Применяя общий метод интервалов, получим:

Точка \(a\) попадает в промежуток, где произведение отрицательно, поэтому на множество решений она не влияет. Множество решений \((-\infty;\ -5) \cup (3;\ +\infty)\) состоит из двух интервалов.

4) Пусть \(a = 3\). Неравенство примет вид \((x+5)(x-3)^3 > 0\); его множество решений \((-\infty;\ -5) \cup (3;\ +\infty)\) состоит из двух интервалов.

5) Пусть \(a > 3\). Применяя общий метод интервалов, получим:

Множество решений \((-\infty;\ -5) \cup (3;\ a) \cup (a;\ +\infty)\) состоит из трёх интервалов.

Значит, множество решений неравенства состоит из двух интервалов при \(-5 \le a \le 3\) и из трёх интервалов при \(a < -5\) или \(a > 3\).

б) Неравенство
\[\frac{(x+5)(x-3)}{(x-a)^2} < 0\]
равносильно неравенству
\[(x+5)(x-3)(x-a)^2 < 0.\]

Знаки произведения на промежутках расставляются так же, как в пункте а), — решениями являются промежутки со знаком «\(-\)».

1) Пусть \(a \le -5\) или \(a \ge 3\) — точка \(a\) не лежит внутри интервала \((-5;\ 3)\). При \(a < -5\) применим общий метод интервалов:

Произведение отрицательно только на интервале \((-5;\ 3)\) — множество решений состоит из одного интервала. Так же получается при \(a > 3\), а при \(a = -5\) и при \(a = 3\) неравенство принимает вид \((x+5)^3(x-3) < 0\) и \((x+5)(x-3)^3 < 0\) соответственно — его решения тоже составляют один интервал \((-5;\ 3)\).

2) Пусть \(-5 < a < 3\). Применяя общий метод интервалов, получим:

В точке \(x = a\) произведение равно нулю, поэтому она не является решением. Множество решений \((-5;\ a) \cup (a;\ 3)\) состоит из двух интервалов.

Значит, множество решений неравенства состоит из одного интервала при \(a \le -5\) или \(a \ge 3\) и из двух интервалов при \(-5 < a < 3\).

Ответ: а) из двух интервалов при \(-5 \le a \le 3\), из трёх интервалов при \(a < -5\) или \(a > 3\); б) из одного интервала при \(a \le -5\) или \(a \ge 3\), из двух интервалов при \(-5 < a < 3\).