Номер №154. — ГДЗ по алгебре за 9 класс, Никольский

а) Решим неравенство
\[\frac{(x-1)^2 (x-2)}{(x-3)^2} > 0.\]

Это неравенство равносильно неравенству
\[(x-1)^2 (x-2)(x-3)^2 > 0.\]

Отметим на числовой оси корни левой части: \(1\), \(2\), \(3\). При переходе через точки \(1\) и \(3\) знак произведения не меняется (множители \((x-1)^2\) и \((x-3)^2\) входят в чётной степени), а при переходе через точку \(2\) — меняется. При \(x > 3\) произведение положительно.

Применяя общий метод интервалов, получим, что множество всех решений неравенства состоит из объединения двух интервалов: \((2;\ 3)\) и \((3;\ +\infty)\).

б) Решим неравенство
\[\frac{(x+1)^2 (x-2)^2}{x+3} < 0.\]

Это неравенство равносильно неравенству
\[(x+1)^2 (x-2)^2 (x+3) < 0.\]

Отметим на числовой оси корни левой части: \(-3\), \(-1\), \(2\). При переходе через точки \(-1\) и \(2\) знак произведения не меняется (множители входят в чётной степени), а при переходе через точку \(-3\) — меняется. При \(x > 2\) произведение положительно.

Применяя общий метод интервалов, получим, что множество всех решений неравенства — интервал \((-\infty;\ -3)\).

в) Решим неравенство
\[\frac{(x-1)^3 (x-2)}{(x-3)^2} > 0.\]

Это неравенство равносильно неравенству
\[(x-1)^3 (x-2)(x-3)^2 > 0.\]

Отметим на числовой оси корни левой части: \(1\), \(2\), \(3\). При переходе через точку \(3\) знак произведения не меняется (множитель \((x-3)^2\) входит в чётной степени), а при переходе через точки \(1\) и \(2\) — меняется (множители \((x-1)^3\) и \(x-2\) входят в нечётной степени). При \(x > 3\) произведение положительно.

Применяя общий метод интервалов, получим, что множество всех решений неравенства состоит из объединения трёх интервалов: \((-\infty;\ 1)\), \((2;\ 3)\) и \((3;\ +\infty)\).

г) Решим неравенство
\[\frac{(x+1)(x-2)^3}{x+3} < 0.\]

Это неравенство равносильно неравенству
\[(x+1)(x-2)^3 (x+3) < 0.\]

Отметим на числовой оси корни левой части: \(-3\), \(-1\), \(2\). Все множители входят в нечётной степени, поэтому при переходе через каждую из этих точек знак произведения меняется. При \(x > 2\) произведение положительно.

Применяя общий метод интервалов, получим, что множество всех решений неравенства состоит из объединения двух интервалов: \((-\infty;\ -3)\) и \((-1;\ 2)\).

Ответ: а) \((2;\ 3) \cup (3;\ +\infty)\); б) \((-\infty;\ -3)\); в) \((-\infty;\ 1) \cup (2;\ 3) \cup (3;\ +\infty)\); г) \((-\infty;\ -3) \cup (-1;\ 2)\).