Номер №153. — ГДЗ по алгебре за 9 класс, Никольский

а) Решим неравенство
\[\frac{x^2 - 6x + 4}{x - 1} > 0.\]

Разложим на линейные множители квадратный трёхчлен \(x^2 - 6x + 4\). Он имеет два корня:
\[x_{1,2} = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 16}}{2} = \frac{6 \pm 2\sqrt{5}}{2} = 3 \pm \sqrt{5},\]
и его можно разложить на линейные множители:
\[x^2 - 6x + 4 = (x - (3 - \sqrt{5}))(x - (3 + \sqrt{5})).\]

Следовательно, неравенство можно переписать в виде
\[\frac{(x - (3 - \sqrt{5}))(x - (3 + \sqrt{5}))}{x - 1} > 0.\]

Это неравенство равносильно неравенству
\[(x - (3 - \sqrt{5}))(x - 1)(x - (3 + \sqrt{5})) > 0.\]

Так как \(2 < \sqrt{5} < 3\), то \(0 < 3 - \sqrt{5} < 1\), поэтому корни расположены в порядке \(3 - \sqrt{5} < 1 < 3 + \sqrt{5}\). Применяя метод интервалов, находим, что множество всех решений неравенства состоит из двух интервалов: \((3 - \sqrt{5};\ 1)\) и \((3 + \sqrt{5};\ +\infty)\).

б) Решим неравенство
\[\frac{x^2 + 6x + 6}{x + 2} < 0.\]

Квадратный трёхчлен \(x^2 + 6x + 6\) имеет два корня:
\[x_{1,2} = \frac{-6 \pm \sqrt{36 - 24}}{2} = \frac{-6 \pm 2\sqrt{3}}{2} = -3 \pm \sqrt{3},\]
и его можно разложить на линейные множители:
\[x^2 + 6x + 6 = (x - (-3 - \sqrt{3}))(x - (-3 + \sqrt{3})).\]

Следовательно, неравенство можно переписать в виде
\[\frac{(x - (-3 - \sqrt{3}))(x - (-3 + \sqrt{3}))}{x + 2} < 0.\]

Это неравенство равносильно неравенству
\[(x - (-3 - \sqrt{3}))(x + 2)(x - (-3 + \sqrt{3})) < 0.\]

Так как \(1 < \sqrt{3} < 2\), то \(-5 < -3 - \sqrt{3} < -4\) и \(-2 < -3 + \sqrt{3} < -1\), поэтому корни расположены в порядке \(-3 - \sqrt{3} < -2 < -3 + \sqrt{3}\). Применяя метод интервалов, находим, что множество всех решений неравенства состоит из двух интервалов: \((-\infty;\ -3 - \sqrt{3})\) и \((-2;\ -3 + \sqrt{3})\).

в) Решим неравенство
\[\frac{x^2 - 5}{2x^2 - 3x - 2} < 0.\]

Разложим числитель на линейные множители как разность квадратов:
\[x^2 - 5 = (x - \sqrt{5})(x + \sqrt{5}).\]

Квадратный трёхчлен \(2x^2 - 3x - 2\) имеет два корня:
\[x_{1,2} = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 16}}{4} = \frac{3 \pm 5}{4}, \qquad x_1 = -\frac{1}{2}, \quad x_2 = 2,\]
и его можно разложить на линейные множители:
\[2x^2 - 3x - 2 = 2\left(x + \frac{1}{2}\right)(x - 2).\]

Следовательно, неравенство можно переписать в виде
\[\frac{(x + \sqrt{5})(x - \sqrt{5})}{2\left(x + \frac{1}{2}\right)(x - 2)} < 0.\]

Это неравенство равносильно неравенству
\[(x + \sqrt{5})(x - \sqrt{5}) \cdot 2\left(x + \frac{1}{2}\right)(x - 2) < 0.\]

Разделив обе части неравенства на положительное число \(2\), получим равносильное неравенство
\[(x + \sqrt{5})\left(x + \frac{1}{2}\right)(x - 2)(x - \sqrt{5}) < 0.\]

Так как \(2 < \sqrt{5} < 3\), корни расположены в порядке \(-\sqrt{5} < -\frac{1}{2} < 2 < \sqrt{5}\). Применяя метод интервалов, находим, что множество всех решений неравенства состоит из двух интервалов: \(\left(-\sqrt{5};\ -\frac{1}{2}\right)\) и \((2;\ \sqrt{5})\).

г) Решим неравенство
\[\frac{3 - x^2}{3x^2 - 4x - 1} > 0.\]

Это неравенство равносильно неравенству
\[(3 - x^2)(3x^2 - 4x - 1) > 0.\]

Умножив обе части неравенства на \(-1\) и изменив знак неравенства на противоположный, получим равносильное неравенство
\[(x^2 - 3)(3x^2 - 4x - 1) < 0.\]

Разложим множители на линейные множители. Как разность квадратов:
\[x^2 - 3 = (x - \sqrt{3})(x + \sqrt{3}).\]

Квадратный трёхчлен \(3x^2 - 4x - 1\) имеет два корня:
\[x_{1,2} = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 12}}{6} = \frac{4 \pm 2\sqrt{7}}{6} = \frac{2 \pm \sqrt{7}}{3},\]
и его можно разложить на линейные множители:
\[3x^2 - 4x - 1 = 3\left(x - \frac{2 - \sqrt{7}}{3}\right)\left(x - \frac{2 + \sqrt{7}}{3}\right).\]

Следовательно, неравенство можно переписать в виде
\[(x + \sqrt{3})(x - \sqrt{3}) \cdot 3\left(x - \frac{2 - \sqrt{7}}{3}\right)\left(x - \frac{2 + \sqrt{7}}{3}\right) < 0.\]

Разделив обе части неравенства на положительное число \(3\), получим равносильное неравенство
\[(x + \sqrt{3})\left(x - \frac{2 - \sqrt{7}}{3}\right)\left(x - \frac{2 + \sqrt{7}}{3}\right)(x - \sqrt{3}) < 0.\]

Расположим корни в порядке возрастания. Так как \(2 < \sqrt{7} < 3\), то
\[-\frac{1}{3} < \frac{2 - \sqrt{7}}{3} < 0, \qquad \frac{4}{3} < \frac{2 + \sqrt{7}}{3} < \frac{5}{3},\]
а \(\sqrt{3} > \frac{5}{3}\), поскольку \(3 > \frac{25}{9}\). Значит,
\[-\sqrt{3} < \frac{2 - \sqrt{7}}{3} < \frac{2 + \sqrt{7}}{3} < \sqrt{3}.\]

Применяя метод интервалов, находим, что множество всех решений неравенства состоит из двух интервалов: \(\left(-\sqrt{3};\ \frac{2 - \sqrt{7}}{3}\right)\) и \(\left(\frac{2 + \sqrt{7}}{3};\ \sqrt{3}\right)\).

Ответ: а) \((3 - \sqrt{5};\ 1) \cup (3 + \sqrt{5};\ +\infty)\); б) \((-\infty;\ -3 - \sqrt{3}) \cup (-2;\ -3 + \sqrt{3})\); в) \(\left(-\sqrt{5};\ -\frac{1}{2}\right) \cup (2;\ \sqrt{5})\); г) \(\left(-\sqrt{3};\ \frac{2 - \sqrt{7}}{3}\right) \cup \left(\frac{2 + \sqrt{7}}{3};\ \sqrt{3}\right)\).