Номер №152. — ГДЗ по алгебре за 9 класс, Никольский

а) Решим неравенство
\[\frac{x}{x-1} < \frac{1}{x}.\]
Перенеся дробь \(\frac{1}{x}\) в левую часть, получим равносильное неравенство \(\frac{x}{x-1} - \frac{1}{x} < 0\). Приведём дроби к общему знаменателю, не сокращая числитель и знаменатель на общие множители:
\[\frac{x\cdot x - (x-1)}{x(x-1)} < 0, \qquad \frac{x^2 - x + 1}{x(x-1)} < 0.\]
Это неравенство равносильно неравенству \((x^2 - x + 1)\,x(x-1) < 0\). Квадратный трёхчлен \(x^2 - x + 1\) имеет отрицательный дискриминант \(D = 1 - 4 = -3 < 0\) и положительный старший коэффициент, поэтому \(x^2 - x + 1 > 0\) при всех \(x\). Разделив обе части на положительное выражение \(x^2 - x + 1\), получим равносильное неравенство \(x(x-1) < 0\).
Применяя метод интервалов, находим, что множеством всех решений неравенства является интервал \((0; 1)\).

б) Решим неравенство
\[\frac{3}{x} > \frac{5x}{3}.\]
Перенеся дробь \(\frac{5x}{3}\) в левую часть, получим равносильное неравенство
\[\frac{3}{x} - \frac{5x}{3} > 0, \qquad \frac{9 - 5x^2}{3x} > 0.\]
Это неравенство равносильно неравенству \((9 - 5x^2)\cdot 3x > 0\). Разделив обе части на положительное число \(3\), получим \((9 - 5x^2)x > 0\). Умножив обе части на \(-1\) и изменив знак неравенства, получим \((5x^2 - 9)x < 0\). Трёхчлен \(5x^2 - 9\) имеет корни \(x = \pm\dfrac{3}{\sqrt{5}} = \pm\dfrac{3\sqrt{5}}{5}\), поэтому \(5x^2 - 9 = 5\left(x - \dfrac{3\sqrt{5}}{5}\right)\left(x + \dfrac{3\sqrt{5}}{5}\right)\). Разделив обе части на положительное число \(5\), получим равносильное неравенство
\[x\left(x + \frac{3\sqrt{5}}{5}\right)\left(x - \frac{3\sqrt{5}}{5}\right) < 0.\]
Применяя метод интервалов, находим, что множество всех решений неравенства состоит из двух интервалов: \(\left(-\infty; -\dfrac{3\sqrt{5}}{5}\right)\) и \(\left(0; \dfrac{3\sqrt{5}}{5}\right)\).

в) Решим неравенство
\[\frac{x+1}{x-1} < \frac{3}{x}.\]
Перенеся дробь \(\frac{3}{x}\) в левую часть, получим равносильное неравенство \(\frac{x+1}{x-1} - \frac{3}{x} < 0\). Приведём дроби к общему знаменателю, не сокращая на общие множители:
\[\frac{x(x+1) - 3(x-1)}{x(x-1)} < 0, \qquad \frac{x^2 - 2x + 3}{x(x-1)} < 0.\]
Это неравенство равносильно неравенству \((x^2 - 2x + 3)\,x(x-1) < 0\). Квадратный трёхчлен \(x^2 - 2x + 3\) имеет отрицательный дискриминант \(D = 4 - 12 = -8 < 0\) и положительный старший коэффициент, поэтому \(x^2 - 2x + 3 > 0\) при всех \(x\). Разделив обе части на положительное выражение \(x^2 - 2x + 3\), получим равносильное неравенство \(x(x-1) < 0\).
Применяя метод интервалов, находим, что множеством всех решений неравенства является интервал \((0; 1)\).

г) Решим неравенство
\[\frac{2}{x} > \frac{x-2}{3-x}.\]
Перенеся дробь \(\frac{x-2}{3-x}\) в левую часть, получим равносильное неравенство \(\frac{2}{x} - \frac{x-2}{3-x} > 0\). Приведём дроби к общему знаменателю, не сокращая на общие множители:
\[\frac{2(3-x) - x(x-2)}{x(3-x)} > 0, \qquad \frac{6 - x^2}{x(3-x)} > 0.\]
Это неравенство равносильно неравенству \((6 - x^2)\,x(3-x) > 0\). Запишем \(6 - x^2 = -(x-\sqrt{6})(x+\sqrt{6})\) и \(3 - x = -(x-3)\); тогда произведение примет вид
\[x(x+\sqrt{6})(x-\sqrt{6})(x-3) > 0.\]
Применяя метод интервалов, находим, что множество всех решений неравенства состоит из трёх интервалов: \((-\infty; -\sqrt{6})\), \((0; \sqrt{6})\) и \((3; +\infty)\).

Ответ: а) \((0; 1)\); б) \(\left(-\infty; -\dfrac{3\sqrt{5}}{5}\right) \cup \left(0; \dfrac{3\sqrt{5}}{5}\right)\); в) \((0; 1)\); г) \((-\infty; -\sqrt{6}) \cup (0; \sqrt{6}) \cup (3; +\infty)\).

op