Номер №151. — ГДЗ по алгебре за 9 класс, Никольский

а) Решим неравенство
\[\frac{1}{x} > 1.\]
Перенеся \(1\) в левую часть, получим равносильное неравенство
\[\frac{1}{x} - 1 > 0, \qquad \frac{1-x}{x} > 0.\]
Это неравенство равносильно неравенству \((1-x)x > 0\). Запишем \(1-x = -(x-1)\); тогда \(-(x-1)x > 0\), откуда \(x(x-1) < 0\).
Применяя метод интервалов, находим, что множеством всех решений неравенства является интервал \((0; 1)\).

б) Решим неравенство
\[\frac{1}{x} < 1.\]
Перенеся \(1\) в левую часть, получим равносильное неравенство
\[\frac{1}{x} - 1 < 0, \qquad \frac{1-x}{x} < 0.\]
Это неравенство равносильно неравенству \((1-x)x < 0\). Запишем \(1-x = -(x-1)\); тогда \(-(x-1)x < 0\), откуда \(x(x-1) > 0\).
Применяя метод интервалов, находим, что множество всех решений неравенства состоит из двух интервалов: \((-\infty; 0)\) и \((1; +\infty)\).

в) Решим неравенство
\[\frac{x+1}{x} > 1.\]
Перенеся \(1\) в левую часть, получим равносильное неравенство
\[\frac{x+1}{x} - 1 > 0, \qquad \frac{x+1-x}{x} > 0, \qquad \frac{1}{x} > 0.\]
Это неравенство равносильно неравенству \(x > 0\).
Применяя метод интервалов, находим, что множеством всех решений неравенства является интервал \((0; +\infty)\).

г) Решим неравенство
\[\frac{x-1}{x} < 1.\]
Перенеся \(1\) в левую часть, получим равносильное неравенство
\[\frac{x-1}{x} - 1 < 0, \qquad \frac{x-1-x}{x} < 0, \qquad -\frac{1}{x} < 0.\]
Последнее неравенство равносильно неравенству \(\frac{1}{x} > 0\), то есть \(x > 0\).
Применяя метод интервалов, находим, что множеством всех решений неравенства является интервал \((0; +\infty)\).

Ответ: а) \((0; 1)\); б) \((-\infty; 0) \cup (1; +\infty)\); в) \((0; +\infty)\); г) \((0; +\infty)\).

op