Страница 27 номер 98, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Укажите, для каких из данных неравенств множеством решений является вся числовая прямая: 1) \(x + 8 \ge x\); 2) \(x + 8 \le x\); 3) \(x - 2 \ge 2\); 4) \(x + 4 \le 4\); 5) \(-4x + 2 < -4x\); 6) \(x > -4x\).
1) \(x + 8 \geqslant x\);
\(x - x \geqslant -8\);
\(0 \cdot x \geqslant -8\), что верно при любом \(x\): левая часть равна 0, а \(0 > -8\). Решением неравенства является любое число, множество его решений — вся числовая прямая \((-\infty; +\infty)\).
2) \(x + 8 \leqslant x\);
\(x - x \leqslant -8\);
\(0 \cdot x \leqslant -8\), что неверно при любом \(x\): левая часть равна 0, а \(0 > -8\). Неравенство не имеет решений.
3) \(x - 2 \geqslant 2\);
\(x \geqslant 2 + 2\);
\(x \geqslant 4\). Множество решений — промежуток \([4; +\infty)\), а не вся числовая прямая: например, число 0 решением не является, так как \(0 - 2 = -2\), а \(-2 < 2\).
4) \(x + 4 \leqslant 4\);
\(x \leqslant 4 - 4\);
\(x \leqslant 0\). Множество решений — промежуток \((-\infty; 0]\), а не вся числовая прямая: например, число 1 решением не является, так как \(1 + 4 = 5\), а \(5 > 4\).
5) \(-4x + 2 < -4x\);
\(-4x + 4x < -2\);
\(0 \cdot x < -2\), что неверно при любом \(x\): левая часть равна 0, а \(0 > -2\). Неравенство не имеет решений.
6) \(x > -4x\);
\(x + 4x > 0\);
\(5x > 0\). Разделим обе части на положительное число 5, знак сохраняется: \(x > 0\). Множество решений — промежуток \((0; +\infty)\), а не вся числовая прямая: например, число \(-1\) решением не является, так как \(-4 \cdot (-1) = 4\), а \(-1 < 4\).
Ответ: множеством решений является вся числовая прямая только у неравенства 1) \(x + 8 \geqslant x\).
Укажите, для каких из данных неравенств множеством решений является вся числовая прямая: 1) \(x + 8 \ge x\); 2) \(x + 8 \le x\); 3) \(x - 2 \ge 2\); 4) \(x + 4 \le 4\); 5) \(-4x + 2 < -4x\); 6) \(x > -4x\).
В каждом неравенстве перенесём слагаемые с переменной в левую часть, а числа — в правую, изменив их знаки на противоположные, и приведём подобные слагаемые.
1) \(x + 8 \geqslant x\);
\(x - x \geqslant -8\);
\(0 \cdot x \geqslant -8\), что верно при любом значении \(x\): левая часть равна 0, а \(0 > -8\). Решением неравенства является любое число, множество его решений — вся числовая прямая \((-\infty; +\infty)\).
2) \(x + 8 \leqslant x\);
\(x - x \leqslant -8\);
\(0 \cdot x \leqslant -8\), что неверно при любом значении \(x\): левая часть равна 0, а \(0 > -8\). Неравенство не имеет решений.
3) \(x - 2 \geqslant 2\);
\(x \geqslant 2 + 2\);
\(x \geqslant 4\). Множество решений — промежуток \([4; +\infty)\), а не вся числовая прямая: например, число 0 решением не является, так как \(0 - 2 = -2\), а \(-2 < 2\).
4) \(x + 4 \leqslant 4\);
\(x \leqslant 4 - 4\);
\(x \leqslant 0\). Множество решений — промежуток \((-\infty; 0]\), а не вся числовая прямая: например, число 1 решением не является, так как \(1 + 4 = 5\), а \(5 > 4\).
5) \(-4x + 2 < -4x\);
\(-4x + 4x < -2\);
\(0 \cdot x < -2\), что неверно при любом значении \(x\): левая часть равна 0, а \(0 > -2\). Неравенство не имеет решений.
6) \(x > -4x\);
\(x + 4x > 0\);
\(5x > 0\). Разделим обе части неравенства на положительное число 5, знак неравенства при этом сохраняется, а правая часть остаётся равной нулю: \(x > 0\). Множество решений — промежуток \((0; +\infty)\), а не вся числовая прямая: например, число \(-1\) решением не является, так как \(-4 \cdot (-1) = 4\), а \(-1 < 4\).
Ответ: множеством решений является вся числовая прямая только у неравенства 1) \(x + 8 \geqslant x\).
